Уравнение касательной к графику функции

Что такое касательная? 🤔

Представьте, что вы едете на велосипеде по извилистой дороге. В каждый конкретный момент времени ваше движение можно приближенно считать прямолинейным. Прямая, которая показывает это мгновенное направление движения, и будет касательной к вашей траектории.

В математике касательная к графику функции — это прямая, которая лишь касается графика в данной точке, но не пересекает его (вблизи этой точки). Она идеально повторяет направление графика в этой точке.

Как найти уравнение этой прямой? 🧮

Чтобы составить уравнение прямой, нам всегда нужны две вещи:

Точка, через которую она проходит
Угловой коэффициент (или просто «угол наклона»), который показывает, насколько круто прямая поднимается или опускается.

Для касательной это:

Точка касания: её координаты мы знаем. Если мы хотим провести касательную в точке с абсциссой x = a, то точка имеет координаты (a; f(a)).
Угловой коэффициент (k): он равен значению производной функции в этой самой точке! Это ключевой момент всей темы.

🎯 Запомните золотое правило: k = f'(a)

Производная функции в точке показывает мгновенную скорость изменения функции, то есть крутизну её графика. Именно это нам и нужно!

Общее уравнение прямой с угловым коэффициентом выглядит так:

y = kx + b

Но мы будем использовать другую, более удобную для нашей задачи форму — уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом:

y - y₀ = k(x - x₀)

Подставим наши данные:

x₀ = a
y₀ = f(a)
k = f'(a)

Получаем нашу главную формулу:

y = f(a) + f'(a) * (x - a)

Алгоритм решения 📋

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x = a, действуйте по шагам:

Найдите значение функции в точке x = a: f(a)
Найдите производную функции: f'(x)
Найдите значение производной в точке x = a: f'(a)
Подставьте все найденные числа a, f(a), f'(a) в формулу: y = f(a) + f'(a)(x - a)
Упростите полученное уравнение.

Разберём на примере! ✨

Задача 1

Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x² в точке x₀ = 3.

Решение:

Будем следовать алгоритму.

1. Найдем f(x₀). Подставляем x₀ = 3 в функцию:

f(3) = 3² = 9

Значит, точка касания имеет координаты (3; 9).

2. Найдем производную функции:

f'(x) = (x²)' = 2x

3. Найдем значение производной в точке x₀ = 3:

f'(3) = 2 * 3 = 6

Это и есть наш угловой коэффициент k = 6.

4. Подставим все в формулу уравнения касательной:

y = f(3) + f'(3) * (x - 3)
y = 9 + 6 * (x - 3)

5. Упростим уравнение:

y = 9 + 6x - 18
y = 6x - 9

✅ Ответ: Уравнение касательной: y = 6x - 9

Задача 2 (посложнее)

Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = √x в точке x₀ = 4.

Решение:

1. Найдем f(4):

f(4) = √4 = 2

Точка касания: (4; 2).

2. Найдем производную. Для этого представим функцию в виде степени:

f(x) = √x = x^(1/2)
f'(x) = (1/2) * x^(-1/2) = 1/(2√x)

3. Найдем значение производной в точке x₀ = 4:

f'(4) = 1/(2 * √4) = 1/(2 * 2) = 1/4

Угловой коэффициент k = 1/4.

4. Составим уравнение:

y = 2 + (1/4) * (x - 4)

5. Упростим его:

y = 2 + (1/4)x - 1
y = (1/4)x + 1

✅ Ответ: Уравнение касательной: y = (1/4)x + 1

Частые ошибки и как их избежать 🚫

Ошибка	Правильно	Совет
Подставить в формулу `f'(x)` вместо `f'(a)`	В формуле используется именно значение производной в точке `a`, а не её выражение.	Всегда сначала вычисляйте производную, а потом подставляйте в неё конкретное значение `x = a`.
Перепутать `f(a)` и `f'(a)`	`f(a)` — значение функции, `f'(a)` — значение производной. Это разные числа!	Четко следуйте алгоритму: сначала пункт 1, потом пункты 2 и 3.
Неправильно упростить уравнение	Раскрывайте скобки и приводите подобные слагаемые.	Всегда проверяйте окончательный ответ, подставив в него точку касания. Должно получиться верное равенство.