Уравнение плоскости в пространстве

📌 Что такое плоскость в пространстве?

Представьте себе бесконечно протяженный плоский лист бумаги в трехмерном пространстве ✨. Плоскость — это одна из основных геометрических поверхностей, которая определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой, или прямой и точкой вне её.

В математике плоскость можно описать с помощью специального уравнения — и сегодня мы научимся это делать!

---

🎯 Основные виды уравнений плоскости

Существует несколько способов записать уравнение плоскости. Мы разберем три основных:

1. Общее уравнение плоскости
2. Уравнение плоскости через три точки
3. Уравнение плоскости в отрезках

Давайте рассмотрим каждый из них подробно.

---

📘 1. Общее уравнение плоскости

Любую плоскость в пространстве можно задать уравнением вида:

Ax + By + Cz + D = 0

Где:

• A, B, C — коэффициенты (не равные нулю одновременно)
• D — свободный член
• x, y, z — координаты любой точки плоскости

💡 Важно! Вектор n = (A; B; C) называется нормальным вектором плоскости. Он перпендикулярен плоскости и задает её ориентацию в пространстве.

Пример:

2x - 3y + 4z - 5 = 0

Здесь нормальный вектор: n = (2; -3; 4)

---

🔺 2. Уравнение плоскости через три точки

Если известны три точки плоскости, не лежащие на одной прямой:

M₁(x₁; y₁; z₁), M₂(x₂; y₂; z₂), M₃(x₃; y₃; z₃)

Тогда уравнение плоскости можно найти с помощью определителя:

| x - x₁   y - y₁   z - z₁  |
| x₂ - x₁  y₂ - y₁  z₂ - z₁ | = 0
| x₃ - x₁  y₃ - y₁  z₃ - z₁ |

Разберем на конкретном примере!

---

🧮 Практическое задание 1

Задача: Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки: A(1; 2; 3), B(4; 1; 0), C(2; 5; 7)

Решение:

1. Запишем определитель:

   | x - 1   y - 2   z - 3 |
   | 4 - 1   1 - 2   0 - 3 | = 0
   | 2 - 1   5 - 2   7 - 3 |

2. Упростим:

   | x - 1   y - 2   z - 3 |
   |   3      -1      -3   | = 0
   |   1       3       4   |

3. Вычислим определитель:

   (x - 1)*((-1)*4 - (-3)*3) - (y - 2)*(3*4 - (-3)*1) + (z - 3)*(3*3 - (-1)*1) = 0

4. Посчитаем каждую часть:

   (x - 1)*(-4 + 9) - (y - 2)*(12 + 3) + (z - 3)*(9 + 1) = 0
   5(x - 1) - 15(y - 2) + 10(z - 3) = 0

5. Упростим уравнение:

   5x - 5 - 15y + 30 + 10z - 30 = 0
   5x - 15y + 10z - 5 = 0

6. Сократим на 5:

   x - 3y + 2z - 1 = 0

✅ Ответ: x - 3y + 2z - 1 = 0

---

📏 3. Уравнение плоскости в отрезках

Если плоскость пересекает все три координатные оси, её уравнение можно записать в виде:

x/a + y/b + z/c = 1

Где:

• a — отрезок на оси OX
• b — отрезок на оси OY
• c — отрезок на оси OZ

🎯 Это очень удобно для построения плоскости в координатной системе!

Пример: плоскость x/2 + y/3 + z/4 = 1 пересекает оси в точках: (2; 0; 0), (0; 3; 0), (0; 0; 4)

---

🧮 Практическое задание 2

Задача: Преобразовать уравнение 3x + 4y - 6z - 12 = 0 в уравнение в отрезках.

Решение:

1. Перенесем свободный член вправо:

   3x + 4y - 6z = 12

2. Разделим обе части на 12:

   3x/12 + 4y/12 - 6z/12 = 12/12

3. Упростим дроби:

   x/4 + y/3 - z/2 = 1

4. Перепишем с положительным z:

   x/4 + y/3 + z/(-2) = 1

✅ Ответ: плоскость пересекает оси в точках: (4; 0; 0), (0; 3; 0), (0; 0; -2)

---

📊 Сводная таблица видов уравнений

Вид уравнения	Формула	Когда использовать
Общее уравнение	Ax + By + Cz + D = 0	Когда известен нормальный вектор
Через три точки	Через определитель	Когда известны три точки плоскости
В отрезках	x/a + y/b + z/c = 1	Для построения плоскости