Вычисление площадей фигур с помощью интеграла

Что такое интеграл и как он связан с площадью? 🎯

Представьте, что вам нужно найти площадь криволинейной фигуры — например, под параболой. Обычными формулами из геометрии здесь не обойтись! Именно для таких случаев и нужны интегралы.

Интеграл — это мощный математический инструмент, который позволяет вычислять площади под кривыми. Если говорить просто, он "суммирует" бесконечно малые прямоугольники под графиком функции.

💡 Запомните: определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a; b] численно равен площади криволинейной трапеции под графиком этой функции!

Основная формула выглядит так:

∫[a;b] f(x) dx = S

Где:
• ∫ — знак интеграла
• a и b — пределы интегрирования (нижний и верхний)
• f(x) — подынтегральная функция
• dx — дифференциал, указывающий переменную интегрирования
• S — искомая площадь

---

Основные правила вычисления интегралов ➕

Прежде чем вычислять площади, давайте вспомним основные правила интегрирования:

Функция	Первообразная
x^n	(x^(n+1))/(n+1) + C
sin(x)	-cos(x) + C
cos(x)	sin(x) + C
e^x	e^x + C

И формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:

∫[a;b] f(x) dx = F(b) - F(a)

где F(x) — первообразная функции f(x).

---

Площадь под одной кривой 📏

Давайте разберем на простом примере, как найти площадь под прямой линией.

Задача 1: Найти площадь фигуры, ограниченной линией y = 2x, осью OX и прямыми x = 1 и x = 3.

Решение:

1. Строим график: это прямая, проходящая через начало координат
2. Искомая площадь — это обычная трапеция под прямой от x=1 до x=3
3. Записываем интеграл: S = ∫[1;3] 2x dx
4. Находим первообразную: F(x) = x²
5. Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница: F(3) - F(1) = 3² - 1² = 9 - 1 = 8

Ответ: площадь равна 8 квадратных единиц.

📘 Проверка: можем вычислить площадь трапеции обычным способом: основания 2*1=2 и 2*3=6, высота 2, S = (2+6)/2 * 2 = 8. Все верно!

---

Площадь между двумя кривыми 🔺

Чаще всего нужно находить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми. Алгоритм такой:

1. Найти точки пересечения кривых (решить уравнение f(x) = g(x))
2. Определить, какая функция находится выше на интервале
3. Вычислить интеграл от разности функций

Задача 2: Найти площадь фигуры, ограниченной параболами y = x² и y = 4 - x².

Решение:

1. Найдем точки пересечения: x² = 4 - x² → 2x² = 4 → x² = 2 → x = ±√2
2. Определим, какая функция выше: на интервале [-√2; √2] функция y = 4 - x² находится выше y = x²
3. Записываем интеграл: S = ∫[-√2;√2] [(4 - x²) - x²] dx = ∫[-√2;√2] (4 - 2x²) dx
4. Находим первообразную: F(x) = 4x - (2x³)/3
5. Вычисляем: F(√2) - F(-√2) = [4√2 - (2(√2)³)/3] - [-4√2 - (2(-√2)³)/3]
6. Упрощаем: = 4√2 - (4√2)/3 + 4√2 - (4√2)/3 = 8√2 - 8√2/3 = (16√2)/3

Ответ: площадь равна (16√2)/3 квадратных единиц.

---

Особые случаи и важные замечания ⚠️

Иногда фигура находится ниже оси OX. В этом случае интеграл даст отрицательное значение, поэтому берем модуль:

S = |∫[a;b] f(x) dx|

Если фигура состоит из нескольких частей, нужно разбить интеграл на части:

S = ∫[a;c] f(x) dx + ∫[c;b] g(x) dx

Когда функции заданы относительно оси OY (x = f(y)), используем аналогичный подход, но интегрируем по y:

S = ∫[c;d] φ(y) dy

🎯 Совет: всегда рисуйте график! Это поможет понять геометрический смысл задачи и избежать ошибок.

---

Практические задачи для закрепления 📝

Задача 3: Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² - 4 и y = 0.

Решение:

1. Находим точки пересечения с осью OX: x² - 4 = 0 → x = ±2
2. Фигура симметрична и находится ниже оси OX на [-2;2]
3. S = |∫[-2;2] (x² - 4) dx|
4. Первообразная: F(x) = x³/3 - 4x
5. F(2) = 8/3 - 8 = -16/3, F(-2) = -8/3 + 8 = 16/3
6. S = |(-16/3) - (16/3)| = |-32/3| = 32/3

Ответ: 32/3 квадратных единиц.

Задача 4: Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = √x, y = 0 и x = 4.