Выпуклость и точки перегиба графика функции

Что такое выпуклость функции?

Представьте себе арку моста 🏗️ или чашу. Когда график функции изгибается определенным образом, мы говорим о его выпуклости. Это свойство показывает, как "закругляется" наша кривая.

Существует два основных вида выпуклости:

• Выпуклость вниз (или вогнутость вверх) — график похож на "чашу" или арку моста. Любая хорда лежит под графиком.
• Выпуклость вверх (или вогнутость вниз) — график напоминает "горб" 🐫. Любая хорда лежит над графиком.

🎯 Простой способ запомнить: если налить воду в «чашу» графика, и она не выльется — выпуклость вниз. Если вода выльется — выпуклость вверх.

---

Как определить выпуклость с помощью производной?

Мы уже умеем находить первую производную — она показывает скорость изменения функции. Для выпуклости нам понадобится вторая производная — то есть производная от производной.

Обозначается она так: f''(x)

Правило простое:

Если вторая производная...	...то график
f''(x) > 0	Выпуклый вниз (чаша) 📉
f''(x) < 0	Выпуклый вверх (горб) 📈

Давайте разберем на примере!

Пример 1: Определение выпуклости

Задача: Исследовать функцию f(x) = x³ - 3x на выпуклость.

Решение:

1. Находим первую производную: f'(x) = 3x² - 3
2. Находим вторую производную: f''(x) = 6x
3. Анализируем знак второй производной:
   • При x < 0: f''(x) < 0 → выпуклость вверх
   • При x > 0: f''(x) > 0 → выпуклость вниз

Значит, график меняет выпуклость в точке x = 0!

---

Точки перегиба

Точка перегиба — это именно то место, где график меняет характер выпуклости. Как на американских горках 🎢, где вы переходите от подъема к спуску!

Формальное определение: Точка x₀ называется точкой перегиба, если вторая производная меняет знак при переходе через эту точку.

💡 Важно: в самой точке перегиба вторая производная может быть равна нулю f''(x₀) = 0 или не существовать.

Алгоритм поиска точек перегиба:

1. Найти вторую производную f''(x)
2. Найти точки, где f''(x) = 0 или не существует
3. Проверить, меняется ли знак f''(x) в этих точках

Пример 2: Поиск точки перегиба

Задача: Найти точки перегиба функции f(x) = x⁴ - 4x³

Решение:

1. Находим производные:
   • f'(x) = 4x³ - 12x²
   • f''(x) = 12x² - 24x = 12x(x - 2)
2. Находим критические точки: f''(x) = 0
   • 12x(x - 2) = 0
   • x = 0 и x = 2
3. Исследуем знаки второй производной:

   Интервал	Знак f''(x)	Выпуклость
   x < 0	+	Вниз
   0 < x < 2	-	Вверх
   x > 2	+	Вниз

4. Делаем вывод: в точках x = 0 и x = 2 вторая производная меняет знак ⇒ это точки перегиба.

📘 Запомните: не всякая точка, где f''(x) = 0, является точкой перегиба! Нужно обязательно проверять смену знака.

---

Практические задачи для закрепления

Задача 1: Исследование функции

Условие: Найдите интервалы выпуклости и точки перегиба функции f(x) = 3x⁵ - 5x³

Пошаговое решение:

1. Находим вторую производную:
   • f'(x) = 15x⁴ - 15x²
   • f''(x) = 60x³ - 30x = 30x(2x² - 1)
2. Решаем f''(x) = 0:
   • 30x(2x² - 1) = 0
   • x = 0, x = ±√(1/2)