Задачи на оптимизацию в экономике и технике

Что такое оптимизация и зачем она нужна? 🎯

Представь, что ты владелец небольшого кафе. Тебе нужно закупить столько кофе и круассанов, чтобы хватило всем клиентам, но при этом ничего не осталось — иначе продукты испортятся. Или ты инженер, который проектирует банку газировки — нужно сделать её такой, чтобы на производство уходило как можно меньше металла, но объём был достаточным. Во всех этих случаях мы ищем наилучший вариант — то есть оптимизируем.

В математике оптимизация — это поиск максимального или минимального значения какой-либо величины (её называют целевой функцией) при заданных условиях (ограничениях).

💡 Запомни: Оптимизация — это всегда про два действия:

1. Составить математическую модель (функцию, которую нужно максимизировать или минимизировать, и условия)
2. Найти её экстремум (максимум или минимум) с помощью производной

Алгоритм решения задач на оптимизацию 📘

Чтобы не запутаться, всегда действуй по плану:

1. Внимательно прочитай условие. Пойми, что дано и что нужно найти.
2. Введи переменные. Обозначь буквами (например, x и y) величины, которые могут меняться.
3. Вырази целевую функцию — ту величину, которую нужно максимизировать (например, прибыль) или минимизировать (например, затраты).
4. Запиши ограничения — условия, которые связывают переменные (например, общая длина забора 100 м).
5. Вырази целевую функцию как функцию одной переменной. Для этого используй ограничения, чтобы выразить одну переменную через другую.
6. Найди производную этой функции и приравняй её к нулю — найди критические точки.
7. Определи, является ли найденная точка максимумом или минимумом (например, с помощью второй производной или анализа поведения функции).
8. Найди остальные величины, ответь на вопрос задачи.
9. Убедись, что ответ имеет смысл (например, длина не может быть отрицательной).

Разберём на примерах 🧮

Пример 1: Экономический (максимизация прибыли)

Условие: Фермер выращивает яблоки. Если он продаёт ящик за 500 рублей, то покупают 100 ящиков в день. Каждое снижение цены на 10 рублей увеличивает ежедневный спрос на 15 ящиков. Закупочная цена ящика — 200 рублей. По какой цене нужно продавать ящики, чтобы прибыль была максимальной?

Решение:

1. Введём переменную. Пусть x — количество снижений цены по 10 рублей. Тогда:
   • Цена одного ящика: 500 - 10x
   • Количество проданных ящиков: 100 + 15x
   • Затраты на ящики: 200 * (100 + 15x)
2. Составим функцию прибыли (выручка минус затраты):

   P(x) = (500 - 10x) * (100 + 15x) - 200 * (100 + 15x)

   Упростим выражение:

   P(x) = (500 - 10x - 200) * (100 + 15x) = (300 - 10x) * (100 + 15x)

   Раскроем скобки:

   P(x) = 30000 + 4500x - 1000x - 150x² = 30000 + 3500x - 150x²

3. Найдём производную и приравняем её к нулю:

   P'(x) = 3500 - 300x
   3500 - 300x = 0
   300x = 3500
   x = 3500 / 300 ≈ 11.67

4. Определим, что это максимум. Вторая производная: P''(x) = -300 < 0 — значит, это точка максимума.
5. Так как x должен быть целым числом (нельзя снизить цену "полураз"), проверим значения для x = 11 и x = 12:
   • При x = 11: P(11) = 30000 + 3500*11 - 150*121 = 30000 + 38500 - 18150 = 50350
   • При x = 12: P(12) = 30000 + 3500*12 - 150*144 = 30000 + 42000 - 21600 = 50400
   Прибыль при x = 12 немного больше.
6. Найдём оптимальную цену:

   Цена = 500 - 10 * 12 = 380 рублей

Ответ: продавать ящики нужно по цене 380 рублей.

Пример 2: Технический (минимизация материала)

Условие: Нужно изготовить закрытую цилиндрическую банку объёмом 1 литр (1000 см³). Каковы должны быть dimensions (высота и радиус дна), чтобы на её производство ушло как можно меньше металла (то есть площадь поверхности была минимальной)?

Решение:

1. Введём переменные. Пусть:
   • r — радиус основания (в см)
   • h — высота банки (в см)
2. Объём цилиндра нам известен:

   V = π * r² * h = 1000

3. Площадь полной поверхности (целевая функция, которую нужно минимизировать):

   S = 2 * π * r² + 2 * π * r * h

   (дно + крышка + боковая поверхность)
4. Выразим h из формулы объёма:

   h = 1000 / (π * r²)

5. Подставим в формулу площади, чтобы получить функцию одной переменной:

   S(r) = 2πr² + 2πr * (1000 / (πr²)) = 2πr² + 2000/r

6. Найдём производную и приравняем к нулю:

   S'(r) = 4πr - 2000/r²
   4πr - 2000/r² = 0
   4πr = 2000/r²
   4πr³ = 2000
   r³ = 2000 / (4π) = 500 / π
   r = ∛(500/π) ≈ ∛(159.15) ≈ 5.42 см

7. Найдём высоту:

   h = 1000 / (π * 5.42²) ≈ 1000 / (3.14 * 29.38) ≈ 1000 / 92.2 ≈ 10.85 см