Наибольший общий делитель (НОД) и его нахождение

🎯 Что такое наибольший общий делитель?

Представь, что у тебя есть два числа. Например, 12 и 18. Наибольший общий делитель (НОД) — это самое большое число, на которое делятся без остатка оба этих числа. Это как найти их общего «математического друга»!

💡 Запомни: Делитель числа — это число, на которое оно делится без остатка. Например, делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Давай найдём НОД для чисел 12 и 18 вместе.

Выпишем все делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Выпишем все делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Найдём общие делители: 1, 2, 3, 6
Выберем наибольший из них: 6

Вот и всё! НОД(12, 18) = 6. Это значит, что число 6 — самый большой «друг», который умеет делить и 12, и 18.

🔍 Как найти НОД быстро? Метод разложения на простые множители

Выписывать все делители — не всегда удобно, особенно с большими числами. Есть способ лучше! ✨

Мы будем раскладывать числа на простые множители. Простые числа — это те, которые делятся только на себя и на 1 (например, 2, 3, 5, 7, 11).

📘 Совет: Вспомни признаки делимости. На 2 делятся чётные числа, на 5 — числа, оканчивающиеся на 0 или 5.

Давай найдём НОД(36, 48) этим методом.

Шаг 1. Разложим оба числа на простые множители

Разложение числа 36:

Записываем: 36 = 2 * 2 * 3 * 3 или 36 = 2² * 3²

Разложение числа 48:

Записываем: 48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 или 48 = 2⁴ * 3¹

Шаг 2. Найдём общие простые множители

Смотрим, какие простые числа есть в разложении и 36, и 48. Это 2 и 3.

Теперь смотрим, в какой степени они входят в каждое число, и выбираем наименьшую степень.

Число 2: в 36 оно в степени 2, в 48 — в степени 4. Выбираем меньшую степень: 2.
Число 3: в 36 оно в степени 2, в 48 — в степени 1. Выбираем меньшую степень: 1.

Шаг 3. Перемножим выбранные множители

Перемножаем наши общие множители в найденных степенях:

2² * 3¹ = 4 * 3 = 12

Ответ: НОД(36, 48) = 12

🎯 Важно: Мы всегда берём общие множители в наименьшей степени!

🧮 Алгоритм Евклида — самый эффективный способ

Для очень больших чисел есть супер-быстрый и умный способ. Его придумал древнегреческий математик Евклид.

Его правило звучит так: НОД двух чисел равен НОДу меньшего числа и разности этих чисел. Но на практике проще делить.

Алгоритм очень простой:

Большее число делим на меньшее.
Затем делим делитель на остаток от деления.
Продолжаем этот процесс, пока деление не произойдёт без остатка.
Последний ненулевой остаток — это и есть НОД.

Давай найдём НОД(270, 186)

1. 270 ÷ 186 = 1 (остаток 84)
2. 186 ÷ 84 = 2 (остаток 18)
3. 84 ÷ 18 = 4 (остаток 12)
4. 18 ÷ 12 = 1 (остаток 6)
5. 12 ÷ 6 = 2 (остаток 0)

Мы остановились на шаге 5, так как остаток стал равен 0. Значит, НОД — это последний ненулевой остаток, который был на шаге 4.

НОД(270, 186) = 6

⚡ Этот способ может показаться сложным, но он самый быстрый для больших чисел! Потренируйся, и он станет твоим любимым.

📝 Решим задачу вместе

Задача: У Кати есть 54 конфеты «Мишка» и 72 конфеты «Белочка». Она хочет сложить их в одинаковые пакетики так, чтобы в каждом пакетике были конфеты только одного вида, и чтобы все пакетики были полными и одинаковыми. Какое наибольшее количество пакетиков у неё может получиться?

Решение:

Чтобы пакетики были одинаковыми, их количество должно нацело делить и число «Мишек», и число «Белочек». То есть мы ищем число, на которое делятся и 54, и 72. А наибольшее возможное количество пакетиков будет равно как раз НОД этих чисел.

Найдём НОД(54, 72) через разложение на множители.

54 = 2 * 3 * 3 * 3 = 2¹ * 3³

72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 = 2³ * 3²

Общие множители: 2 и 3. Берём их в наименьшей степени: 2¹ * 3² = 2 * 9 = 18

Ответ: НОД(54, 72) = 18

Значит, Катя может сделать 18 одинаковых пакетиков. В каждом пакетике будет:

54 ÷ 18 = 3 конфеты «Мишка»
72 ÷ 18 = 4 конфеты «Белочка»

💪 Давай потренируемся!

Попробуй найти НОД для этих пар чисел. Сначала попробуй сам, а потом сверься с ответами ниже.