Наименьшее общее кратное (НОК) и методы нахождения

Что такое наименьшее общее кратное?

Привет! Сегодня мы разберем очень полезную тему — наименьшее общее кратное, или, как его часто называют, НОК. Это не так сложно, как кажется! Давай разбираться вместе.

Представь, что у тебя есть два числа. У каждого из них есть свои «друзья» — кратные числа. Кратное — это число, которое делится на твое число без остатка. Например, для числа 2 кратными будут 2, 4, 6, 8, 10 и так далее ➕.

А теперь найдем числа, которые будут кратны одновременно двум числам. Это и есть их общие кратные. Самое маленькое из таких общих кратных и называется наименьшим общим кратным.

🎯 Запомни: НОК двух натуральных чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

Давай на примере. Возьмем числа 4 и 6.

• Выпишем кратные числа 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...
• Выпишем кратные числа 6: 6, 12, 18, 24, 30, ...
• Найдем общие кратные: 12, 24, ...
• Самое маленькое из них — 12. Значит, НОК(4, 6) = 12.

Видишь, как просто? Теперь узнаем, как находить НОК быстро, не выписывая все кратные подряд.

---

Методы нахождения НОК

Есть два основных способа найти НОК. Мы разберем оба, чтобы ты мог выбрать тот, который тебе больше нравится.

1. Метод перебора кратных 🧮

Этот способ мы уже использовали в первом примере. Он простой, но не всегда удобный, особенно с большими числами.

1. Выпиши кратные для первого числа.
2. Выпиши кратные для второго числа.
3. Найди одинаковые числа в обоих списках.
4. Выбери самое маленькое из них — это и будет НОК.

Давай потренируемся!

Задача 1: Найди НОК чисел 5 и 3.

Решение:

1. Кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, ...
2. Кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...
3. Первое общее кратное — 15.
4. Ответ: НОК(5, 3) = 15.

2. Метод разложения на простые множители 📘

Это более надежный и быстрый способ. Он работает даже с очень большими числами.

📌 Простые множители — это простые числа, на которые делится исходное число (например, 2, 3, 5, 7, 11).

Алгоритм действий:

1. Разложи оба числа на простые множители.
2. Выпиши все множители, которые есть в разложении первого числа.
3. Добавь к ним те множители из разложения второго числа, которых нет в первом или которых больше.
4. Перемножь все выписанные множители. Получится НОК.

Разберем на примере тех же чисел 4 и 6.

Решение:

1. Разложим на множители:
   • 4 = 2 * 2
   • 6 = 2 * 3
2. Выписываем множители из первого разложения: 2, 2.
3. Добавляем множители из второго разложения. У нас есть новая тройка 3. Двойка уже есть, но во втором числе ее только одна, а у нас уже выписано две. Больше добавлять не нужно.
4. Перемножаем: 2 * 2 * 3 = 12.
5. Ответ: НОК(4, 6) = 12. Тот же результат!

Стало понятнее? Давай решим еще одну задачу этим методом.

Задача 2: Найди НОК чисел 18 и 24.

Решение:

1. Разложим на простые множители:
   • 18 = 2 * 3 * 3
   • 24 = 2 * 2 * 2 * 3
2. Выписываем множители из первого числа: 2, 3, 3.
3. Смотрим на второе число. Здесь три двойки, а у нас выписана только одна. Значит, добавляем еще две двойки: 2, 2. Троек у нас уже две, а во втором числе только одна — значит, добавлять не нужно.
4. Теперь все выписанные множители: 2, 3, 3, 2, 2.
5. Перемножаем их: 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 72.
6. Ответ: НОК(18, 24) = 72.

---

Связь с наибольшим общим делителем (НОД)

Оказывается, между НОК и НОД есть интересная связь! Если ты уже знаешь, что такое наибольший общий делитель, то найти НОК можно еще быстрее.

🎯 Формула связи: Для любых двух натуральных чисел a и b выполняется равенство: НОК(a, b) = (a * b) / НОД(a, b)

Давай проверим эту формулу на числах 4 и 6.

• Мы знаем, что НОК(4, 6) = 12.
• Найдем НОД(4, 6). Делители 4: 1, 2, 4. Делители 6: 1, 2, 3, 6. Общие делители: 1, 2. Наибольший — 2.
• Подставим в формулу: (4 * 6) / 2 = 24 / 2 = 12.
• Все сошлось!

Этот способ очень выручает, когда числа большие и их сложно раскладывать на множители.

---

Давай потренируемся! ✨

Теперь твоя очередь применить знания на практике. Реши эти задачи, сверясь с пошаговым решением.

Задача 3: Найди НОК чисел 8 и 12 методом разложения на множители.