Основное свойство дроби: сокращение и приведение к общему знаменателю

Что такое основное свойство дроби? 🤔

Представь, что у тебя есть целая пицца 🍕. Если ты разрежешь её на 2 части и возьмёшь одну, то получится 1/2. А если разрежешь на 4 части и возьмёшь две, то получится 2/4. Но по количеству пиццы это одно и то же!

Основное свойство дроби говорит нам:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число (кроме нуля), то значение дроби не изменится.

Математически это можно записать так:

a/b = (a * n)/(b * n) = (a : n)/(b : n)

где n — любое число, кроме нуля.

Давай проверим на примере:

1/2 = (1 * 2)/(2 * 2) = 2/4

3/6 = (3 : 3)/(6 : 3) = 1/2

Видишь? Дроби разные, а значение одинаковое!

---

Сокращение дробей ✂️

Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя на одно и то же число. Мы делаем дробь «проще», но её значение не меняется!

Как сокращать дроби:

1. Найди общий делитель для числителя и знаменателя
2. Раздели числитель и знаменатель на этот делитель
3. Повторяй, пока дробь нельзя будет сократить

Давай разберём на примере:

Задача: Сократи дробь 12/18

Решение:

1. Найдём общие делители: 12 и 18 делятся на 2
2. Сократим: (12 : 2)/(18 : 2) = 6/9
3. Можно сократить ещё: 6 и 9 делятся на 3
4. Получаем: (6 : 3)/(9 : 3) = 2/3
5. Дробь 2/3 уже нельзя сократить — это окончательный ответ!

💡 Совет: Чтобы быстро сокращать дроби, ищи наибольший общий делитель (НОД). Для 12 и 18 НОД = 6, поэтому можно было сразу сделать: (12 : 6)/(18 : 6) = 2/3

Потренируемся ещё:

Задача: Сократи дробь 24/36

Решение:

24 и 36 делятся на 12 (НОД)
(24 : 12)/(36 : 12) = 2/3

Отлично! Получилась та же дробь, что и в предыдущем примере.

---

Приведение к общему знаменателю 📏

Теперь представим, что нам нужно сравнить две дроби или сложить их. Как сравнить 1/2 и 2/3? Для этого нужно привести их к общему знаменателю.

Общий знаменатель — это число, которое делится на знаменатели обеих дробей.

Как привести дроби к общему знаменателю:

1. Найди общее кратное для знаменателей (лучше всего — наименьшее общее кратное, НОК)
2. Определи дополнительные множители для каждой дроби
3. Умножь числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель

Разберём на примере:

Задача: Приведи дроби 1/2 и 2/3 к общему знаменателю

Решение:

1. Найдём НОК для 2 и 3. Числа 2 и 3 простые, поэтому НОК = 2 * 3 = 6
2. Для дроби 1/2 дополнительный множитель: 6 : 2 = 3
3. Для дроби 2/3 дополнительный множитель: 6 : 3 = 2
4. Умножаем: 1/2 = (1 * 3)/(2 * 3) = 3/6
5. Умножаем: 2/3 = (2 * 2)/(3 * 2) = 4/6
6. Теперь дроби имеют общий знаменатель 6: 3/6 и 4/6

Теперь легко сравнить: 3/6 < 4/6, значит 1/2 < 2/3

🎯 Запомни: Приводя дроби к общему знаменателю, мы не меняем их значения, а только записываем в другом виде!

Давай решим ещё одну задачу:

Задача: Приведи к общему знаменателю дроби 3/4 и 5/6

Решение:

1. Найдём НОК для 4 и 6. Разложим на множители:
   • 4 = 2²
   • 6 = 2 * 3
   НОК = 2² * 3 = 12
2. Для 3/4: дополнительный множитель 12 : 4 = 3
3. Для 5/6: дополнительный множитель 12 : 6 = 2
4. Получаем: 3/4 = (3 * 3)/(4 * 3) = 9/12
5. Получаем: 5/6 = (5 * 2)/(6 * 2) = 10/12

---

Тренировочные задания 🏋️‍♂️

Задание 1: Сократи дроби

• а) 8/12
• б) 15/25
• в) 18/24

Решение:

а) 8/12 = (8 : 4)/(12 : 4) = 2/3

б) 15/25 = (15 : 5)/(25 : 5) = 3/5

в) 18/24 = (18 : 6)/(24 : 6) = 3/4

Задание 2: Приведи к общему знаменателю дроби 2/5 и 3/7

Решение:

НОК(5,7) = 35 (так как 5 и 7 простые числа)
2/5 = (2 * 7)/(5 * 7) = 14/35
3/7 = (3 * 5)/(7 * 5) = 15/35