Пропорции: основное свойство пропорции

Что такое пропорция?

Представь, что ты готовишь лимонад 🍋. В рецепте сказано: на 2 стакана воды нужно 6 ложек сахара. Если ты захочешь сделать в два раза больше лимонада, тебе понадобится 4 стакана воды и 12 ложек сахара. Соотношение воды и сахара осталось одинаковым:

2 стакана воды / 6 ложек сахара = 4 стакана воды / 12 ложек сахара

Это и есть пропорция — равенство двух отношений.

Пропорция записывается так:

a : b = c : d

или так:

a/b = c/d

Читается: «a относится к b, как c относится к d».

Числа a и d называются крайними членами пропорции, а b и c — средними членами.

Члены пропорции	Пример
Крайние: a и d	2 и 12
Средние: b и c	6 и 4

Основное свойство пропорции 🎯

Самое важное правило, которое нужно запомнить:

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Проверим это на нашем примере с лимонадом:

2/6 = 4/12

Произведение крайних членов: 2 × 12 = 24

Произведение средних членов: 6 × 4 = 24

Оба произведения равны 24! ✅ Это доказывает, что пропорция верная.

Как применять основное свойство?

Это свойство помогает нам решать три типа задач:

1. Проверять, верна ли пропорция ➕
2. Находить неизвестный член пропорции 🔍
3. Решать задачи с помощью пропорций 🧮

Проверка пропорции

Давай проверим, верна ли пропорция: 3 : 5 = 12 : 20

Найдём произведение крайних и средних членов:

Крайние: 3 × 20 = 60
Средние: 5 × 12 = 60

Произведения равны — пропорция верна! 👍

А теперь проверим: 4 : 7 = 10 : 18

Крайние: 4 × 18 = 72
Средние: 7 × 10 = 70

72 ≠ 70 — пропорция неверна! ❌

---

Нахождение неизвестного члена пропорции

Чаще всего нам нужно найти неизвестный член пропорции. Давай разберём на примере!

Задача 1: Найдите неизвестный член пропорции: 5/8 = x/24

Решение:

1. Вспоминаем основное свойство: 5 × 24 = 8 × x
2. Вычисляем: 120 = 8x
3. Чтобы найти x, делим обе части на 8: x = 120 ÷ 8
4. Получаем: x = 15
5. Проверяем: 5/8 = 15/24 → 5 × 24 = 120, 8 × 15 = 120 ✅

Можно записать решение короче:

x = (5 × 24) ÷ 8 = 15

Задача 2: Найдите x: 9 : x = 3 : 4

Решение:

1. Записываем основное свойство: 9 × 4 = x × 3
2. Вычисляем: 36 = 3x
3. Находим x: x = 36 ÷ 3 = 12
4. Проверяем: 9 : 12 = 3 : 4 → 9 × 4 = 36, 12 × 3 = 36 ✅

---

Решаем реальные задачи с помощью пропорций

Теперь applying наши знания на практике! 📘

Задача 3: За 3 часа автомобиль проехал 240 км. Сколько километров он проедет за 5 часов (если будет двигаться с той же скоростью)?

Решение:

1. Составляем пропорцию. Время увеличивается — расстояние тоже увеличивается. Это прямая зависимость!
2. Записываем: 3 ч / 240 км = 5 ч / x км
3. Используем основное свойство: 3 × x = 240 × 5
4. Вычисляем: 3x = 1200
5. Находим x: x = 1200 ÷ 3 = 400
6. Ответ: за 5 часов автомобиль проедет 400 км.

Задача 4: 6 рабочих выполняют работу за 4 дня. За сколько дней выполнят эту работу 8 рабочих?

Решение:

1. Анализируем: чем больше рабочих, тем меньше дней нужно. Это обратная зависимость!
2. Составляем пропорцию с учётом обратной зависимости: 6/8 = x/4
3. Записываем основное свойство: 6 × 4 = 8 × x
4. Вычисляем: 24 = 8x
5. Находим x: x = 24 ÷ 8 = 3
6. Ответ: 8 рабочих выполнят работу за 3 дня.

---

Полезные советы и частые ошибки

📌 Всегда проверяй, прямая это зависимость или обратная!
📌 При обратной зависимости меняй местами один из отношений.
📌 Обязательно проверяй ответ с помощью основного свойства.
📌 Записывай единицы измерения — они помогут правильно составить пропорцию.

Частые ошибки:

• ❌ Путают прямую и обратную зависимость
• ❌ Неправильно записывают пропорцию
• ❌ Не проверяют ответ

Закрепляем знания 🎓

Самостоятельная работа:

1. Проверьте, верна ли пропорция: 7 : 2 = 21 : 6

2. Найдите x: 4/9 = x/36

3. Решите задачу: Из 200 кг молока получается 8 кг творога. Сколько творога получится из 700 кг молока?