Простые и составные числа: разложение на множители

Что такое простые и составные числа

Давай разберемся, какие числа называют простыми, а какие — составными. Это очень важная тема, которая поможет тебе в дальнейшем изучении математики! ✨

Простое число — это натуральное число, которое имеет только два делителя: единицу и само себя. То есть оно делится без остатка только на 1 и на само себя.

Составное число — это натуральное число, которое имеет больше двух делителей. Оно делится не только на 1 и само себя, но и на другие числа.

Число 1 — особое. Его не относят ни к простым, ни к составным числам, так как у него только один делитель — оно само.

🎯 Запомни: простые числа — как математические «кирпичики». Из них можно «построить» все остальные натуральные числа!

Давай рассмотрим примеры:

Число	Делители	Тип числа
2	1, 2	Простое ➕
3	1, 3	Простое ➕
4	1, 2, 4	Составное 🔢
5	1, 5	Простое ➕
6	1, 2, 3, 6	Составное 🔢
7	1, 7	Простое ➕

Первые простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...

---

Как разложить число на простые множители

Разложение на множители — это представление числа в виде произведения простых чисел. Эти простые числа и называются простыми множителями.

Это как разобрать число на самые маленькие «кирпичики», из которых оно состоит! 🧱

Существует два основных способа разложения на множители:

1. Метод перебора

Мы последовательно делим число на простые числа, начиная с самых маленьких.

Разложим число 24 на простые множители:

1. 24 делится на 2? Да! 24 ÷ 2 = 12
2. 12 делится на 2? Да! 12 ÷ 2 = 6
3. 6 делится на 2? Да! 6 ÷ 2 = 3
4. 3 — простое число, делим на 3: 3 ÷ 3 = 1

Получили: 24 = 2 × 2 × 2 × 3

Записываем короче: 24 = 2³ × 3

2. Метод дерева множителей

Этот способ более наглядный — мы рисуем «дерево», показывающее, как число разбивается на множители.

Разложим число 36:

   36
  /  \
 2    18
     /  \
    2    9
        / \
       3   3

Получаем: 36 = 2 × 2 × 3 × 3 или 36 = 2² × 3²

💡 Совет: всегда начинай деление с самых маленьких простых чисел (2, 3, 5) и проверяй признаки делимости!

---

Признаки делимости

Чтобы быстрее раскладывать числа на множители, полезно знать признаки делимости:

• На 2: число оканчивается четной цифрой (0, 2, 4, 6, 8)
• На 3: сумма цифр числа делится на 3
• На 5: число оканчивается на 0 или 5
• На 10: число оканчивается на 0

Например, число 135:

• Оканчивается на 5 → делится на 5
• Сумма цифр: 1 + 3 + 5 = 9 → делится на 3

---

Решаем задачи вместе! 🧮

Задача 1

Разложи число 60 на простые множители.

Решение:

1. 60 делится на 2: 60 ÷ 2 = 30
2. 30 делится на 2: 30 ÷ 2 = 15
3. 15 делится на 3: 15 ÷ 3 = 5
4. 5 — простое число: 5 ÷ 5 = 1

Ответ: 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5

Задача 2

Определи, является ли число 97 простым.

Решение:

Проверим, делится ли 97 на простые числа меньше 10 (так как 10×10=100 > 97):

• Не делится на 2 (оканчивается на 7)
• Не делится на 3 (9+7=16, 16 не делится на 3)
• Не делится на 5 (не оканчивается на 0 или 5)
• Не делится на 7 (7×13=91, 7×14=98 > 97)

Ответ: число 97 простое ✅

Задача 3

Разложи число 84 на простые множители, используя дерево множителей.

Решение:

    84
   /  \
  2    42
      /  \
     2    21
         /  \
        3    7

Ответ: 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7

---

Проверь себя! 📘

Попробуй решить эти задачи самостоятельно:

1. Какие из этих чисел простые: 17, 21, 29, 33, 41?
2. Разложи на простые множители числа: 45, 72, 100
3. Придумай свое составное число и разложи его на множители

✨ Помни: практика — ключ к успеху в математике! Чем больше ты тренируешься, тем легче тебе будет даваться эта тема.

Интересный факт

Знаешь ли ты, что математики до сих пор ищут новые простые числа? Самое большое известное простое число содержит более 24 миллионов цифр! Для его записи понадобилась бы книга толщиной более 10 000 страниц. 😲

Математика — это удивительная наука, в которой всегда есть место открытиям! Возможно, именно ты когда-нибудь найдешь новое простое число!