Рациональные числа: представление в виде периодических дробей

Что такое рациональные числа?

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби, где числитель и знаменатель — целые числа. Например:

• 1/2 = 0,5
• 3/4 = 0,75
• 2/5 = 0,4

Но есть дроби, которые не заканчиваются, а их десятичная запись повторяется. Такие дроби называются периодическими.

---

Периодические дроби 🌀

Когда мы делим числитель на знаменатель, иногда получается бесконечная десятичная дробь, в которой одна или несколько цифр повторяются. Эта повторяющаяся часть называется периодом.

Например, дробь 1/3:

1 ÷ 3 = 0,333333...

Здесь цифра 3 повторяется бесконечно. Период записывается в скобках: 0,(3).

💡 Совет: Период — это повторяющаяся группа цифр после запятой.

Еще пример: 2/7

2 ÷ 7 = 0,285714285714...

Период здесь — 285714. Записывается как 0,(285714).

---

Как распознать периодическую дробь?

Периодическая дробь возникает, когда при делении числителя на знаменатель остаток повторяется, и процесс деления становится цикличным.

Рассмотрим пример: 5 ÷ 12

5 ÷ 12 = 0,41666...

Здесь цифра 6 повторяется. Записывается как 0,41(6).

📘 Заметка: Не все рациональные числа имеют периодическую дробь. Например, 1/2 = 0,5 — конечная дробь.

---

Правила записи периодических дробей

Обыкновенная дробь	Десятичная запись	Период
1/3	0,333...	0,(3)
1/6	0,1666...	0,1(6)
1/7	0,142857142857...	0,(142857)

🎯 Важно: Период всегда пишется в скобках. Если период начинается сразу после запятой, скобки ставятся сразу. Если нет — сначала пишут непериодическую часть.

---

Практические задачи

Задача 1

Представьте дробь 2/3 в виде периодической десятичной дроби.

Решение:

1. Выполним деление: 2 ÷ 3 = 0,6666...
2. Период — цифра 6.
3. Записываем: 0,(6).

Задача 2

Запишите дробь 7/12 в виде десятичной периодической дроби.

Решение:

1. Делим: 7 ÷ 12 = 0,58333...
2. Непериодическая часть: 58
3. Период: 3
4. Запись: 0,58(3)

Задача 3

Переведите периодическую дробь 0,(45) в обыкновенную дробь.

Решение:

1. Пусть x = 0,454545...
2. Умножим обе части на 100 (чтобы период оказался перед запятой): 100x = 45,454545...
3. Вычтем из второго уравнения первое: 100x - x = 45,454545... - 0,454545...
4. Получаем: 99x = 45
5. Находим x: x = 45/99 = 5/11

✨ Совет: Чтобы преобразовать периодическую дробь в обыкновенную, используйте метод уравнения с умножением на степень 10.

---

Закрепление материала

Давайте потренируемся! Попробуйте решить следующие примеры:

1. Запишите 4/9 в виде периодической дроби.
2. Представьте 0,2(7) в виде обыкновенной дроби.
3. Определите период для дроби 5/11.

📏 Помните: Практика помогает лучше понять тему. Не бойтесь ошибаться — это часть обучения!

Рациональные числа и периодические дроби окружают нас everywhere в жизни: в математике, физике, экономике. Understanding их — важный шаг в изучении математики! 🚀