Формулы сокращенного умножения: куб суммы и разности

Что такое куб суммы и разности? 🧊➕➖

Сегодня мы разберем две очень полезные формулы, которые здорово упрощают вычисления и преобразования выражений. Это формулы куба суммы и куба разности двух чисел или выражений.

Представь, что тебе нужно возвести в куб выражение в скобках, например: (a + b)³. Можно, конечно, перемножить три одинаковые скобки: (a + b) * (a + b) * (a + b). Но это долго и можно легко запутаться. Намного проще и быстрее использовать готовую формулу!

Формула куба суммы ➕

Давай выведем формулу вместе. Возведем сумму a + b в куб:

(a + b)³ = (a + b) * (a + b) * (a + b)

Сначала перемножим первые две скобки. Мы уже знаем формулу квадрата суммы:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Теперь умножим этот результат на третью скобку (a + b):

(a² + 2ab + b²) * (a + b) = 
a² * a + a² * b + 2ab * a + 2ab * b + b² * a + b² * b

Приведем подобные слагаемые:

a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ = 
a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Вот и получилась наша формула!

🎯 Формула куба суммы:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Запомни: куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, плюс куб второго выражения.

Формула куба разности ➖

С кубом разности поступаем аналогично. Возведем разность a - b в куб:

(a - b)³ = (a - b) * (a - b) * (a - b)

Сначала перемножим первые две скобки по формуле квадрата разности:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Теперь умножим этот результат на третью скобку (a - b):

(a² - 2ab + b²) * (a - b) = 
a² * a + a² * (-b) + (-2ab) * a + (-2ab) * (-b) + b² * a + b² * (-b)

Упростим выражение:

a³ - a²b - 2a²b + 2ab² + ab² - b³ = 
a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Обрати внимание на знаки!

🎯 Формула куба разности:
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Запомни: куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, минус куб второго выражения.

Как запомнить эти формулы? 📘

Есть простая мнемоничка (правило для запоминания):

Первым всегда идет куб первого выражения
Вторым — утроенное произведение квадрата первого на второе
Третьим — утроенное произведение первого на квадрат второго
Четвертым — куб второго выражения

А знаки запоминаем так:

Для куба суммы: все знаки «+» ➕
Для куба разности: знаки «+» и «-» чередуются, начиная с «+» ➖➕➖

💡 Совет: Произнеси формулы вслух несколько раз, запиши их на листочке без подглядывания. Так ты запомнишь их быстрее!

Решаем задачи вместе! ✏️

Давай потренируемся применять эти формулы на практике.

Задача 1

Возведи в куб выражение: (2x + 3)³

Решение:

Здесь a = 2x, b = 3. Используем формулу куба суммы:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Подставляем наши значения:
(2x)³ + 3*(2x)²*3 + 3*2x*3² + 3³
Вычисляем каждое слагаемое:
8x³ + 3*4x²*3 + 3*2x*9 + 27 =
8x³ + 36x² + 54x + 27
Ответ: 8x³ + 36x² + 54x + 27

Задача 2

Возведи в куб выражение: (5 - y)³

Решение:

Здесь a = 5, b = y. Используем формулу куба разности:
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Подставляем наши значения:
5³ - 3*5²*y + 3*5*y² - y³
Вычисляем каждое слагаемое:
125 - 3*25*y + 3*5*y² - y³ =
125 - 75y + 15y² - y³
Запишем в стандартном виде (по убыванию степеней y):
-y³ + 15y² - 75y + 125
Ответ: -y³ + 15y² - 75y + 125

Задача 3 (посложнее!)

Упрости выражение: (x + 2y)³ - (x - 2y)³