Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и разности
Что такое формулы сокращенного умножения? 🧠
Представь, что ты собираешь конструктор. Формулы сокращенного умножения — это готовые схемы, которые помогают быстро и без ошибок собирать сложные математические выражения. Сегодня мы изучим две самые важные из них!
Квадрат суммы ➕➕
Давай начнем с квадрата суммы двух чисел. Это выражение выглядит так: (a + b)². Многие думают, что это просто a² + b², но это большая ошибка! Давай разберемся, как работает эта формула на самом деле.
Что значит (a + b)²? Это то же самое, что и (a + b) × (a + b). Давай перемножим эти две скобки:
(a + b)(a + b) = a×a + a×b + b×a + b×b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
Вот и получилась наша волшебная формула!
🎯 Формула квадрата суммы:
(a + b)² = a² + 2ab + b²Запомни: квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.
Давай сразу закрепим на примере, чтобы стало понятнее.
Пример 1 📘
Задача: Возведите в квадрат выражение (x + 5).
Решение:
- Находим квадрат первого выражения:
x² - Находим удвоенное произведение первого и второго:
2 × x × 5 = 10x - Находим квадрат второго выражения:
5² = 25 - Складываем все части:
x² + 10x + 25
Ответ: (x + 5)² = x² + 10x + 25
Пример 2 📘
Задача: Вычислите, используя формулу: (3y + 4)²
Решение:
- Квадрат первого:
(3y)² = 9y² - Удвоенное произведение:
2 × 3y × 4 = 24y - Квадрат второго:
4² = 16 - Суммируем:
9y² + 24y + 16
Ответ: (3y + 4)² = 9y² + 24y + 16
Квадрат разности ➖➖
Теперь разберемся с квадратом разности. Все очень похоже, но есть один важный нюанс!
Выражение (a - b)² — это то же самое, что (a - b) × (a - b). Перемножим:
(a - b)(a - b) = a×a + a×(-b) + (-b)×a + (-b)×(-b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b²
Обрати внимание, что удвоенное произведение теперь берется со знаком «минус».
🎯 Формула квадрата разности:
(a - b)² = a² - 2ab + b²Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.
Главное — не забыть этот минус в середине! Давай потренируемся.
Пример 3 📘
Задача: Возведите в квадрат выражение (m - 7).
Решение:
- Квадрат первого:
m² - Удвоенное произведение:
2 × m × 7 = 14m, но со знаком минус:-14m - Квадрат второго:
7² = 49 - Складываем:
m² - 14m + 49
Ответ: (m - 7)² = m² - 14m + 49
Пример 4 📘
Задача: Вычислите, используя формулу: (5 - 2z)²
Решение:
- Квадрат первого:
5² = 25 - Удвоенное произведение:
2 × 5 × 2z = 20z, со знаком минус:-20z - Квадрат второго:
(2z)² = 4z² - Суммируем:
25 - 20z + 4z²
Ответ: (5 - 2z)² = 25 - 20z + 4z²
Сравним формулы 🆚
Чтобы ты их никогда не путал, давай соберем все вместе в удобную табличку.
| Название формулы | Выражение | Результат |
|---|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)² |
a² + 2ab + b² |
| Квадрат разности | (a - b)² |
a² - 2ab + b² |
💡 Запомни главное отличие: в формуле квадрата суммы перед удвоенным произведением стоит ПЛЮС (
+2ab), а в квадрате разности — МИНУС (-2ab). Квадраты в начале и в конце всегда будут со знаком «плюс».
Пора решать! ✍️
А теперь давай попробуем решить несколько задач вместе. Не спеши смотреть ответ, попробуй сначала сделать сам!
Задача для самостоятельного решения 1
Условие: Преобразуйте выражение, используя формулу сокращенного умножения: (c + 9)²
