Формулы сокращенного умножения: разность квадратов

🎯 Что такое разность квадратов?

Давай разберемся с очень полезной и красивой формулой, которая здорово упрощает вычисления! Представь, что ты можешь быстро умножать и раскладывать на множители сложные выражения — именно это позволяет делать формула разности квадратов.

📘 Формула разности квадратов выглядит так:

a² - b² = (a - b)(a + b)

Это значит, что разность (то есть вычитание) квадратов двух чисел или выражений равна произведению их разности и их суммы.

Давай проверим на простом примере, работает ли это:

5² - 3² = 25 - 9 = 16

Теперь по формуле: (5 - 3)(5 + 3) = 2 * 8 = 16

Совпало! ✨ Формула действительно работает.

---

🧠 Почему это работает?

Давай докажем эту формулу, раскрыв скобки в правой части:

(a - b)(a + b) = a*a + a*b - b*a - b*b

Замечаем, что +a*b и -b*a взаимно уничтожаются:

= a² - b²

Вот и всё! Формула доказана. Теперь ты знаешь, откуда она берется.

🎯 Запомни: Эта формула работает только на разность квадратов. На сумму квадратов она не распространяется! a² + b² нельзя разложить таким образом.

---

📝 Как применять формулу?

Формулу можно использовать в двух направлениях:

1. Справа налево: Чтобы быстро перемножить сумму и разность двух одинаковых выражений.
2. Слева направо: Чтобы разложить разность квадратов на множители.

Рассмотрим примеры каждого случая.

➡️ 1. Умножение (a - b)(a + b)

Задача: Упростить выражение (7x - 4y)(7x + 4y)

Решение:

Видим, что у нас есть разность и сумма одинаковых выражений 7x и 4y. Сразу применяем формулу:

(7x)² - (4y)² = 49x² - 16y²

Готово! Быстро и без долгого перемножения скобок.

⬅️ 2. Разложение на множители a² - b²

Задача: Разложить на множители 25m² - 9n⁴

Решение:

1. Представляем каждое слагаемое в виде квадрата:
   • 25m² = (5m)²
   • 9n⁴ = (3n²)² (потому что (n²)² = n⁴)
2. Применяем формулу: (5m)² - (3n²)² = (5m - 3n²)(5m + 3n²)

Получили два множителя! Теперь выражение готово для дальнейших преобразований.

---

🧮 Решаем задачи вместе

Задача 1

Вычислить 102² - 98²

Решение:

Вместо того чтобы возводить в квадрат огромные числа, применим формулу разности квадратов!

102² - 98² = (102 - 98)(102 + 98) = 4 * 200 = 800

Видишь, как быстро и легко? 😊

Задача 2

Разложить на множители 16x⁸ - 81

Решение:

1. Найдем квадратные корни от каждого выражения:
   • √(16x⁸) = 4x⁴ (потому что (4x⁴)² = 16x⁸)
   • √81 = 9
2. Запишем по формуле: (4x⁴)² - 9² = (4x⁴ - 9)(4x⁴ + 9)

Обрати внимание, что первую скобку можно разложить дальше, так как 4x⁴ = (2x²)², а 9 = 3²:

(4x⁴ - 9) = (2x² - 3)(2x² + 3)

Итоговый ответ: 16x⁸ - 81 = (2x² - 3)(2x² + 3)(4x⁴ + 9)

💡 Важно: Последнюю скобку (4x⁴ + 9) разложить по формуле разности квадратов уже нельзя, так как это сумма, а не разность.

Задача 3 (для самостоятельного решения)

Упростите выражение: (x³ - 5y)(x³ + 5y)

Показать ответ и решение

Решение:

Это произведение разности и суммы одинаковых выражений x³ и 5y. Применяем формулу:

(x³)² - (5y)² = x⁶ - 25y²

Ответ: x⁶ - 25y²

---

📊 Таблица-шпаргалка

Выражение	Как представить	Результат по формуле
x² - 16	x² - 4²	(x - 4)(x + 4)
49 - y²	7² - y²	(7 - y)(7 + y)
100a² - 9b⁴	(10a)² - (3b²)²	(10a - 3b²)(10a + 3b²)
0.04p⁶ - 0.25q²	(0.2p³)² - (0.5q)²	(0.2p³ - 0.5q)(0.2p³ + 0.5q)