Функция: понятие, область определения, график

Что такое функция? 🤔

Представь, что у тебя есть специальный автомат, который превращает одни числа в другие. Ты бросаешь в него число (например, 5), а он выдает результат (например, 10). Этот автомат и есть функция!

В математике функция — это правило, которое каждому числу из одного множества ставит в соответствие ровно одно число из другого множества.

💡 Запомни: одной конфете соответствует одна фантик! Так и в функции — каждому числу на входе соответствует только одно число на выходе.

Функции обычно обозначают буквой f (от слова "function"), но можно использовать и другие буквы: g, h и т.д.

Пример записи функции: f(x) = x + 3

Читается: "эф от икс равно икс плюс три". Это значит, что функция к любому числу x прибавляет 3.

Если подставить вместо x число 2, получим: f(2) = 2 + 3 = 5

Если подставить 7: f(7) = 7 + 3 = 10

---

Область определения функции 📏

Область определения — это все числа, которые можно "бросать" в наш автомат-функцию.

Почему не все числа? Потому что некоторые числа могут ломать наш автомат! Например:

• Нельзя делить на ноль
• Нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа
• Некоторые функции имеют ограничения по смыслу задачи

Рассмотрим примеры:

Функция	Область определения	Почему?
f(x) = 1/(x-2)	Все числа, кроме 2	На 0 делить нельзя: x-2≠0 ⇒ x≠2
g(x) = √(x+4)	x ≥ -4	Под корнем не может быть отрицательного числа
h(x) = 5x - 3	Все числа	Можно умножать и вычитать любые числа

🎯 Совет: чтобы найти область определения, спроси себя: "При каких значениях x функция 'ломается'?" Исключи эти значения!

---

График функции 📈

График функции — это рисунок, который показывает, как связаны входные и выходные значения. Он строится на координатной плоскости.

Как строится график:

1. Берем несколько значений x из области определения
2. Для каждого x вычисляем y = f(x)
3. Отмечаем точки (x; y) на координатной плоскости
4. Соединяем точки плавной линией

Рассмотрим функцию: f(x) = 2x + 1

Составим таблицу значений:

x	y = 2x + 1	Точка (x; y)
-2	2*(-2)+1 = -3	(-2; -3)
-1	2*(-1)+1 = -1	(-1; -1)
0	2*0+1 = 1	(0; 1)
1	2*1+1 = 3	(1; 3)
2	2*2+1 = 5	(2; 5)

Если отметить эти точки на координатной плоскости и соединить их, получится прямая линия!

📘 Интересный факт: график линейной функции y = kx + b всегда является прямой линией. Число k называется угловым коэффициентом и показывает наклон прямой.

---

Практические задачи 🧮

Задача 1

Дана функция: f(x) = 3x - 2

Найди: а) f(0); б) f(5); в) f(-1)

Показать решение

а) f(0) = 3*0 - 2 = -2

б) f(5) = 3*5 - 2 = 15 - 2 = 13

в) f(-1) = 3*(-1) - 2 = -3 - 2 = -5

Задача 2

Найди область определения функции: f(x) = 1/(x² - 9)

Показать решение

Знаменатель не может быть равен нулю:

x² - 9 ≠ 0

x² ≠ 9

x ≠ 3 и x ≠ -3

Ответ: все числа, кроме 3 и -3

Задача 3

Построй график функции: y = -x + 4

Показать решение

Составим таблицу значений:

x	y = -x + 4	Точка
-1	-(-1)+4=5	(-1; 5)
0	-0+4=4	(0; 4)
1	-1+4=3	(1; 3)
2	-2+4=2	(2; 2)
3	-3+4=1	(3; 1)

Отмечаем точки на координатной плоскости и проводим через них прямую.

---

Проверь себя ✅

Ответь на вопросы:

1. Что такое функция?
2. Почему выражение "каждому значению x соответствует два значения y" не описывает функцию?
3. Как найти область определения функции f(x) = √(x-5)?
4. Как будет выглядеть график функции y = 5?

✨ Помни: математика — это язык, на котором говорит вся Вселенная. Функции помогают нам описывать закономерности и связи в мире вокруг нас!

Ты отлично поработал! Функции — важная тема, которая будет встречаться тебе еще много раз в математике. Практикуйся, и скоро ты будешь чувствовать себя с функциями как рыба в воде! 🐠