Линейная функция: график и свойства

Что такое линейная функция? 🧐

Давай представим простую ситуацию. Ты помогаешь родителям в магазине и получаешь за это деньги. За каждый час работы тебе платят 150 рублей. Сколько ты заработаешь за разное время?

Если обозначить время работы за x часов, а заработанные деньги за y рублей, то связь между ними можно записать формулой:

y = 150 * x

Это и есть простейший пример линейной функции! Её можно записать в общем виде:

y = kx + b

Где:

• k и b — это числа (коэффициенты)
• x — переменная (аргумент)
• y — зависимая переменная (функция)

💡 Запомни: если аргумент x стоит в первой степени (то есть просто x, а не x² или x³), то функция называется линейной.

Строим график линейной функции 📈

Графиком линейной функции всегда является прямая линия. Давай научимся её строить на примере функции y = 2x + 1.

Шаг 1: Составим таблицу значений. Выберем любые удобные значения для x и посчитаем соответствующие им y.

x	y = 2x + 1
-2	y = 2*(-2) + 1 = -3
-1	y = 2*(-1) + 1 = -1
0	y = 2*0 + 1 = 1
1	y = 2*1 + 1 = 3
2	y = 2*2 + 1 = 5

Шаг 2: Отметим полученные точки с координатами (-2, -3), (-1, -1), (0, 1), (1, 3), (2, 5) на координатной плоскости.

Шаг 3: Проведём через эти точки прямую. Всё, график готов!

🎯 Совет: Для построения прямой достаточно всего двух точек! Но лучше взять три, чтобы избежать ошибки.

---

Свойства линейной функции 🔍

Давай разберёмся, как коэффициенты k и b влияют на график.

Коэффициент b ➕

Этот коэффициент называют начальной ординатой или сдвигом. Он показывает, в какой точке график пересекает ось Y.

Посмотри на примеры:

• Функция y = 2x + 1 пересекает ось Y в точке (0, 1)
• Функция y = 2x - 3 пересекает ось Y в точке (0, -3)
• Функция y = 2x (здесь b = 0) пересекает ось Y в точке (0, 0)

Угловой коэффициент k 📏

Этот коэффициент отвечает за наклон прямой:

• Если k > 0, прямая возрастает (идёт вверх слева направо) ↗
• Если k < 0, прямая убывает (идёт вниз слева направо) ↘
• Если k = 0, прямая горизонтальна →

Чем больше абсолютное значение k (то есть чем больше число по модулю), тем круче наклон прямой.

Сравни:

• y = x — угол наклона 45°
• y = 3x — поднимается гораздо круче
• y = 0.5x — поднимается более полого

---

Решаем задачи вместе! ✨

Давай закрепим знания на практике.

Задача 1

Построй график функции y = -3x + 2. Определи, в какой точке он пересекает ось Y и является ли функция возрастающей.

Решение:

1. Найдём точку пересечения с осью Y. Здесь b = 2, значит, график пересекает ось Y в точке (0, 2).
2. Определим характер функции. Здесь k = -3, что меньше нуля. Значит, функция убывающая.
3. Построим график по точкам. Возьмём, например, x = 0 и x = 1:
   • При x = 0: y = -3*0 + 2 = 2 → точка (0, 2)
   • При x = 1: y = -3*1 + 2 = -1 → точка (1, -1)
4. Отмечаем эти точки на координатной плоскости и проводим через них прямую.

Задача 2

При каком значении k график функции y = kx - 4 проходит через точку (2, 6)?

Решение:

1. Если график проходит через точку (2, 6), значит, при x = 2 значение y = 6.
2. Подставим эти значения в формулу: 6 = k*2 - 4
3. Решим полученное уравнение:

   6 = 2k - 4
   6 + 4 = 2k
   10 = 2k
   k = 5

4. Ответ: k = 5. Искомая функция: y = 5x - 4.

---