Многочлены: сложение, вычитание, умножение

Что такое многочлены? 📘

Представь, что у тебя есть несколько групп предметов. Например, 3 яблока, 2 банана и 5 апельсинов. В математике мы можем записать это как выражение:

3a + 2b + 5c

Это и есть многочлен! Где a, b, c — разные переменные (как разные виды фруктов), а числа перед ними (3, 2, 5) называются коэффициентами.

Каждая часть многочлена, например 3a или 2b, называется одночленом. А когда их несколько — это многочлен.

---

Сложение многочленов ➕

Складывать многочлены — как собирать похожие фрукты в одну корзину. Мы можем складывать только одинаковые переменные!

Давай сложим два многочлена:

(3x + 2y + 5) + (2x - y + 3)

Шаги решения:

1. Раскрываем скобки: 3x + 2y + 5 + 2x - y + 3
2. Находим одинаковые переменные (подчеркнем их):
   3x и 2x — одинаковые
   2y и -y — одинаковые
   5 и 3 — числа без переменных
3. Складываем их: (3x + 2x) + (2y - y) + (5 + 3)
4. Получаем ответ: 5x + y + 8

Попробуй сам! ➡️ Задача: (4a + 3b - 2) + (2a - b + 5)

📋 Показать решение

1. Раскрываем скобки: 4a + 3b - 2 + 2a - b + 5
2. Группируем: (4a + 2a) + (3b - b) + (-2 + 5)
3. Складываем: 6a + 2b + 3
4. Ответ: 6a + 2b + 3

---

Вычитание многочленов ➖

При вычитании важно помнить: знаки второго многочлена меняются на противоположные!

Пример: (5x + 3y - 4) - (2x - y + 2)

Шаги решения:

1. Раскрываем скобки, меняя знаки второго многочлена: 5x + 3y - 4 - 2x + y - 2
2. Группируем одинаковые переменные: (5x - 2x) + (3y + y) + (-4 - 2)
3. Вычитаем: 3x + 4y - 6

💡 Запомни: минус перед скобкой меняет все знаки внутри нее!

Проверим понимание! ➡️ Задача: (7m + 2n - 1) - (3m - n + 4)

📋 Показать решение

1. Меняем знаки: 7m + 2n - 1 - 3m + n - 4
2. Группируем: (7m - 3m) + (2n + n) + (-1 - 4)
3. Вычисляем: 4m + 3n - 5
4. Ответ: 4m + 3n - 5

---

Умножение многочленов ✖️

Умножение немного сложнее, но если действовать по шагам — всё получится! Мы будем умножать каждый член первого многочлена на каждый член второго.

Рассмотрим пример: (x + 3)(x + 2)

Шаги решения:

1. Умножаем x на каждый член второй скобки: x * x + x * 2 = x² + 2x
2. Умножаем 3 на каждый член второй скобки: 3 * x + 3 * 2 = 3x + 6
3. Складываем все результаты: x² + 2x + 3x + 6
4. Упрощаем: x² + 5x + 6

Чтобы запомнить порядок, используем правило «каждый на каждого»!

Первый член	Второй член	Результат
x	x	x²
x	2	2x
3	x	3x
3	2	6

Теперь твоя очередь! ➡️ Задача: (2a + 1)(a - 3)

📋 Показать решение

1. Умножаем 2a * a = 2a²
2. Умножаем 2a * (-3) = -6a
3. Умножаем 1 * a = a
4. Умножаем 1 * (-3) = -3
5. Складываем: 2a² - 6a + a - 3
6. Упрощаем: 2a² - 5a - 3
7. Ответ: 2a² - 5a - 3

---

Практика 🎯

Давай закрепим все операции вместе!

Задача: Выполните действия: (2x + 3)(x - 1) - (x² - 2x)