Одночлены: стандартный вид, умножение, возведение в степень

Что такое одночлен?

Давай начнём с самого начала. Одночлен — это математическое выражение, которое состоит из чисел, переменных и их степеней, соединённых между собой знаком умножения. По сути, это произведение, где все множители «на одно лицо» — отсюда и название «одночлен».

Вот несколько примеров, чтобы стало понятнее:

• 5 — это одночлен (просто число)
• a — это одночлен (просто переменная)
• 5 * a или 5a — это одночлен (число, умноженное на переменную)
• 3 * x * y или 3xy — это одночлен (произведение числа и двух переменных)
• a^2 — это одночлен (переменная в степени)
• -4 * m^2 * n^3 или -4m^2n^3 — это тоже одночлен

💡 Запомни: если в выражении есть знак + или -, отделяющие части, то это уже не одночлен, а многочлен. Например, 3x + 2y — это многочлен, состоящий из двух одночленов.

---

Стандартный вид одночлена 🎯

Часто одночлены могут выглядеть немного «неприбранно». Чтобы с ними было удобнее работать, математики договорились записывать их в стандартном виде.

Стандартный вид одночлена — это такая запись, при которой:

1. На первом месте стоит числовой множитель (коэффициент).
2. За ним записываются переменные в алфавитном порядке.
3. Каждая переменная записана только один раз, но со своим показателем степени.

Давай приведём примеры в стандартный вид:

Было	Стандартный вид	Пояснение
y * 7 * x	7xy	Поставили коэффициент 7 на первое место, переменные записали в алфавитном порядке
a * a * 4 * b	4a^2b	Умножили одинаковые переменные, записали степень
m * n * m * (-2)	-2m^2n	Учли отрицательный коэффициент, упорядочили переменные

📘 Совет: всегда обращай внимание на знак коэффициента. Если перед переменной нет числа, like в одночлене xy, то его коэффициент равен 1. А в одночлене -z^2 коэффициент равен -1.

Потренируемся!

Задача 1. Приведите к стандартному виду одночлен: 3 * b * a * 2 * c

Решение:

1. Перемножим числовые множители: 3 * 2 = 6
2. Запишем переменные в алфавитном порядке: a, потом b, потом c
3. Получим: 6abc

Ответ: 6abc

---

Умножение одночленов ➕

Умножать одночлены очень просто, если они записаны в стандартном виде! Нужно всего лишь выполнить два шага:

1. Перемножить коэффициенты (числовые множители).
2. Перемножить буквенные части, складывая показатели степеней у одинаковых переменных.

Разберём на примере:

Задача 2. Умножьте одночлены: 2x^2y и 3xy^3

Решение:

1. Перемножаем коэффициенты: 2 * 3 = 6
2. Перемножаем переменные:
   • Умножаем x^2 на x (это x^1). Складываем степени: 2 + 1 = 3. Получаем x^3
   • Умножаем y (это y^1) на y^3. Складываем степени: 1 + 3 = 4. Получаем y^4
3. Записываем результат: 6x^3y^4

Ответ: 6x^3y^4

🎯 Важно: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются, а основание остаётся прежним: a^m * a^n = a^(m+n)

---

Возведение одночлена в степень 🔺

Когда нам нужно возвести весь одночлен в степень, мы поступаем похожим образом. Нужно возвести в эту степень каждый множитель одночлена — и числовой, и каждый буквенный.

Правило: (a * b)^n = a^n * b^n

Рассмотрим на примере:

Задача 3. Возведите одночлен 2ab^2 в третью степень.

Решение:

1. Возводим в степень коэффициент: 2^3 = 8
2. Возводим в степень каждую переменную:
   • (a)^3 = a^3
   • (b^2)^3 = b^(2*3) = b^6 (здесь мы умножили степени!)
3. Записываем результат: 8a^3b^6

Ответ: 8a^3b^6

💡 Запомни: при возведении степени в степень показатели перемножаются: (a^m)^n = a^(m*n)