Понятие перестановок, сочетаний, размещений

Что такое комбинаторика? 🧩

Прежде чем мы перейдём к перестановкам, сочетаниям и размещениям, давай разберёмся, что такое комбинаторика. Это раздел математики, который изучает, сколько разных комбинаций можно составить из определённых объектов. Это очень полезно в жизни! Например, когда ты выбираешь, в какой последовательности делать домашние задания, или как составить команду для игры.

💡 Запомни: комбинаторика помогает считать количество возможных вариантов, не перечисляя их все.

Перестановки 🔄

Представь, что у тебя есть несколько разных предметов (например, книги на полке), и ты хочешь узнать, сколькими способами их можно расставить. Вот это и есть перестановки!

Перестановки — это все возможные способы расположить элементы в определённом порядке. Важен порядок следования элементов.

Например, сколько способов расставить на полке 3 книги: Математику (М), Историю (И) и Биологию (Б)?

Давай перечислим все варианты:

М, И, Б
М, Б, И
И, М, Б
И, Б, М
Б, М, И
Б, И, М

Всего получилось 6 способов.

Чтобы каждый раз не перечислять все варианты, есть специальная формула. Количество перестановок из n элементов вычисляется по формуле:

P(n) = n! = 1 * 2 * 3 * ... * n

Знак ! читается как «факториал». Факториал числа — это произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа.

Для нашего примера с 3 книгами:

P(3) = 3! = 1 * 2 * 3 = 6

Всё верно, мы так и получили!

🎯 Задача для закрепления: Сколькими способами можно расставить 4 разные игрушки на полке?

Решение:

P(4) = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

Ответ: 24 способа.

Размещения 📍

А теперь представь, что тебе нужно выбрать не все предметы, а только часть, и при этом их порядок всё ещё важен. Например, нужно выбрать капитана команды и его помощника из 5 человек.

Размещения — это способ выбрать несколько элементов из множества и расставить их в определённом порядке.

Формула для размещения из n элементов по k выглядит так:

A(n, k) = n! / (n - k)!

Давай решим пример с выбором капитана и помощника из 5 человек (n=5, k=2).

A(5, 2) = 5! / (5-2)! = 5! / 3! = (1*2*3*4*5) / (1*2*3) = 120 / 6 = 20

Получилось 20 способов.

Можно рассуждать и логически: капитаном может быть любой из 5 человек. После этого помощником может быть любой из 4 оставшихся. Значит, всего вариантов:

5 * 4 = 20

🎯 Задача: Из 7 участников конкурса нужно выбрать победителя и занявшего второе место. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

A(7, 2) = 7! / (7-2)! = 7! / 5! = (1*2*3*4*5*6*7) / (1*2*3*4*5) = 5040 / 120 = 42

Или проще: 7 * 6 = 42

Ответ: 42 способа.

Сочетания 🤝

Теперь ситуация, когда порядок не важен. Например, нужно просто выбрать команду из 3 человек для викторины из 5 желающих. Неважно, кого выбрали первым, а кого вторым. Важен только сам состав.

Сочетания — это способ выбрать несколько элементов из множества, когда порядок не имеет значения.

Формула для сочетания из n элементов по k:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Давай выберем команду из 3 человек из 5 желающих (n=5, k=3).

C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = 120 / (6 * 2) = 120 / 12 = 10

Получилось 10 способов выбрать состав команды.

💡 Совет: В сочетаниях порядок не важен. В размещениях — важен. Это главное отличие!

🎯 Задача: В столовой есть 4 вида пирожков. Сколькими способами можно выбрать 2 разных пирожка?

Решение: Порядок выбора не важен — нам просто нужны 2 пирожка. Используем формулу сочетаний.

C(4, 2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 4! / (2! * 2!) = 24 / (2 * 2) = 24 / 4 = 6

Ответ: 6 способов.

Сравнительная таблица 🎓

Чтобы лучше запомнить различия, сохрани эту табличку:

Понятие	Что означает?	Важен ли порядок?	Пример
Перестановка	Упорядочивание всех элементов	✅ Да	Порядок книг на полке
Размещение	Выбор и упорядочивание части элементов	✅ Да	1-е и 2-е место в конкурсе
Сочетание	Выбор части элементов	❌ Нет	Состав команды для игры