Прямая пропорциональность: график и формула

Что такое прямая пропорциональность?

Представь, что ты покупаешь мороженое 🍦. Одно мороженое стоит 50 рублей. Чем больше мороженого ты купишь, тем больше денег заплатишь. Это и есть прямая пропорциональность!

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. И наоборот!

💡 Главное свойство: отношение соответствующих значений величин всегда постоянно.

Формула прямой пропорциональности

Математическую зависимость мы всегда записываем в виде формулы. Для прямой пропорциональности она выглядит так:

y = k * x

Давай разберем, что здесь что:

• y и x — это наши переменные (например, стоимость и количество)
• k — это постоянное число, коэффициент пропорциональности. Он показывает, во сколько раз y больше x (или наоборот).

Вернемся к нашему примеру с мороженым:

• x — количество мороженого (шт.)
• y — общая стоимость (руб.)
• k — цена одного мороженого, то есть 50 руб./шт.

Значит, наша формула будет:

y = 50 * x

Строим таблицу зависимости

Прежде чем рисовать график, удобно составить таблицу значений по нашей формуле. Давай посчитаем, сколько будет стоить разное количество мороженого.

Количество, x (шт.)	Расчет	Стоимость, y (руб.)
0	y = 50 * 0	0
1	y = 50 * 1	50
2	y = 50 * 2	100
3	y = 50 * 3	150
4	y = 50 * 4	200

Обрати внимание: во сколько раз увеличилось x, во столько же раз увеличился и y! Это и есть главный признак прямой пропорциональности.

---

График прямой пропорциональности 📈

А теперь самое интересное — нарисуем эту зависимость! Графиком прямой пропорциональности является прямая линия, которая проходит через начало координат — точку (0,0).

🎯 Запомни: если график не проходит через (0,0), это не прямая пропорциональность!

Как построить график: шаг за шагом

Давай построим график для нашей формулы y = 50x.

1. Создай систему координат. Нарисуй горизонтальную ось X (количество) и вертикальную ось Y (стоимость).
2. Отметь точки из нашей таблицы:
   • (0, 0)
   • (1, 50)
   • (2, 100)
   • (3, 150)
   • (4, 200)
3. Соедини точки прямой линией. Убедись, что линия проходит через начало координат (0,0).

Вот что у тебя должно получиться (представь мысленно):

    Y
    |
200 +    ● (4, 200)
    |
150 +    ● (3, 150)
    |
100 +    ● (2, 100)
    |
50  +    ● (1, 50)
    |
----+----+----+----+----> X
    |    1    2    3    4
    ● (0, 0)

Видишь? Все точки лежат на одной прямой, которая выходит из нуля!

Что показывает коэффициент k?

Коэффициент k в формуле — это не просто число. Он отвечает за крутизну нашего графика!

• Чем больше k, тем круче поднимается график.
• Если k положительный, график идет вверх ➚ (чем больше x, тем больше y).
• Если k отрицательный, график идет вниз ➘ (чем больше x, тем меньше y).

Попробуй представить: если бы мороженое стоило 100 рублей (k = 100), график был бы в два раза круче!

---

Решаем задачи вместе 🧮

Задача 1

Автомобиль движется с постоянной скоростью 80 км/ч. Напиши формулу зависимости пройденного пути S (км) от времени t (ч). Построй таблицу для t = 0, 1, 2, 3, 4 часа и опиши график.

📘 Решение:

1. Скорость — это и есть коэффициент пропорциональности k.
2. Формула: S = 80 * t
3. Таблица:

   Время t (ч)	Путь S (км)
   0	0
   1	80
   2	160
   3	240
   4	320

4. Графиком будет прямая линия, проходящая через (0,0) и, например, точку (1, 80).

Задача 2

Является ли прямой пропорциональностью зависимость длины окружности L от её радиуса R? Формула: L = 2πR. Ответ обоснуй.

📘 Решение:

1. Да, является! Мы можем представить формулу как L = k * R, где k = 2π.
2. k — постоянное число (константа).
3. При увеличении радиуса в несколько раз, длина окружности увеличится во столько же раз.
4. График будет прямой линией, проходящей через начало координат.