Разложение на множители с использованием формул

Что такое разложение на множители и зачем оно нужно? 🤔

Представь, что у тебя есть большое число — например, 12. Его можно представить как произведение меньших чисел: 3 × 4 или 2 × 6. Это и есть разложение на множители!

С выражениями в алгебре происходит то же самое. Мы берём сложное выражение и "раскладываем" его на более простые части, перемножив которые, мы получим исходное выражение. Это очень полезно при решении уравнений и упрощении выражений!

💡 Запомни: разложение на множители — это преобразование суммы в произведение!

Волшебные формулы сокращённого умножения ✨

Сегодня мы научимся использовать три главные формулы. Они как специальные ключи, которые открывают замки сложных выражений!

Формула	Как запомнить
(a + b)² = a² + 2ab + b²	Квадрат суммы
(a - b)² = a² - 2ab + b²	Квадрат разности
a² - b² = (a - b)(a + b)	Разность квадратов

🎯 Совет: обрати внимание, что в первых двух формулах есть слагаемое 2ab — это очень важно!

---

Квадрат суммы: (a + b)² ➕

Давай разберёмся, как работает эта формула. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго выражения.

Посмотри на пример:

(x + 5)² = x² + 2·x·5 + 5² = x² + 10x + 25

А теперь попробуем сделать обратное — разложить на множители выражение x² + 10x + 25.

Задача: Разложи на множители выражение x² + 10x + 25

Решение:

1. Смотрим на выражение: есть квадрат (x²), удвоенное произведение (10x) и квадрат числа (25)
2. Проверяем: √25 = 5, 2·x·5 = 10x — всё сходится!
3. Значит, x² + 10x + 25 = (x + 5)²

Квадрат разности: (a - b)² ➖

Здесь всё похоже, но с минусом. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго выражения.

Пример:

(3x - 4)² = (3x)² - 2·3x·4 + 4² = 9x² - 24x + 16

Теперь обратная задача: разложим 9x² - 24x + 16

Решение:

1. Видим квадрат: √9x² = 3x, √16 = 4
2. Проверяем удвоенное произведение: 2·3x·4 = 24x
3. Получаем: 9x² - 24x + 16 = (3x - 4)²

---

Разность квадратов: a² - b² 🔄

Это самая интересная формула! Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и суммы.

Проще говоря: a² - b² = (a - b)(a + b)

Пример:

x² - 9 = x² - 3² = (x - 3)(x + 3)

Давай попробуем разложить выражение 16y² - 25z²

Решение:

1. Находим квадраты: 16y² = (4y)², 25z² = (5z)²
2. Применяем формулу: (4y)² - (5z)² = (4y - 5z)(4y + 5z)
3. Готово: 16y² - 25z² = (4y - 5z)(4y + 5z)

📘 Важно: эта формула работает только для РАЗНОСТИ квадратов, для суммы квадратов такой формулы нет!

---

Потренируемся! 🏋️‍♂️

Давай решим несколько задач вместе. Не спеши смотреть решение — попробуй сначала сам!

Задача 1

Разложи на множители: x² + 6x + 9

Показать решение

Решение:

1. Видим: x² и 9 = 3²
2. Проверяем: 2·x·3 = 6x — подходит!
3. Ответ: (x + 3)²

Задача 2

Разложи на множители: 4a² - 20a + 25

Показать решение

Решение:

1. Видим: 4a² = (2a)² и 25 = 5²
2. Проверяем: 2·2a·5 = 20a — подходит!
3. Ответ: (2a - 5)²

Задача 3

Разложи на множители: 49 - 16y²

Показать решение

Решение:

1. Представляем как: 7² - (4y)²
2. Применяем формулу разности квадратов
3. Ответ: (7 - 4y)(7 + 4y)

---

Как не ошибиться? 🚫

Вот частые ошибки, которых стоит избегать:

• ❌ Забываешь про удвоенное произведение в формулах квадрата суммы/разности
• ❌ Путаешь знаки в формулах
• ❌ Пытаешься применить разность квадратов к сумме квадратов