Системы уравнений: метод подстановки

🎯 Что такое система уравнений?

Система уравнений — это когда у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (обычно x и y), и мы ищем такие значения этих переменных, которые подходят сразу в оба уравнения. Представь, что это как найти точку пересечения двух линий на графике 📈.

💡 Запомни: решение системы — это пара чисел (x; y), которая является верной для обоих уравнений.

Пример системы:

{
  x + y = 5
  2x - y = 1
}

Проверим, является ли пара (2; 3) решением:

• Подставим в первое уравнение: 2 + 3 = 5 → Верно ✔️
• Подставим во второе уравнение: 2*2 - 3 = 1 → Верно ✔️

Значит, (2; 3) — решение этой системы.

---

🔍 Метод подстановки: суть метода

Метод подстановки — это как найти «ключик» к решению! Мы выражаем одну переменную через другую из одного уравнения и подставляем это выражение в другое уравнение. Так мы избавляемся от одной переменной и получаем простое уравнение с одним неизвестным.

🎓 Совет: начинай с того уравнения, где переменную выразить проще всего (где у нее коэффициент 1 или -1).

Общая схема метода:

1. Выразить одну переменную через другую из любого уравнения.
2. Подставить полученное выражение в другое уравнение.
3. Решить получившееся уравнение с одной переменной.
4. Подставить найденное значение в выражение из шага 1 и найти вторую переменную.
5. Записать ответ.

---

📝 Пример решения методом подстановки

Решим систему:

{
  x - y = 2
  x + 2y = 10
}

Шаг 1: Выразим переменную

Из первого уравнения легко выразить x:

x = 2 + y

Шаг 2: Подставим во второе уравнение

Вместо x подставляем 2 + y во второе уравнение:

(2 + y) + 2y = 10

Шаг 3: Решим уравнение с одной переменной

2 + y + 2y = 10
2 + 3y = 10
3y = 10 - 2
3y = 8
y = 8/3

Шаг 4: Найдем вторую переменную

Подставим y = 8/3 в выражение x = 2 + y:

x = 2 + 8/3 = 6/3 + 8/3 = 14/3

Шаг 5: Запишем ответ

Ответ: (14/3; 8/3)

✅ Всегда проверяй решение подстановкой в исходную систему!

---

🧮 Тренировочные задачи

Задача 1 (простая)

Реши систему методом подстановки:

{
  y = 2x
  3x + y = 15
}

Решение:

1. Переменная y уже выражена: y = 2x
2. Подставляем во второе уравнение: 3x + (2x) = 15
3. Решаем: 5x = 15 → x = 3
4. Находим y: y = 2*3 = 6
5. Ответ: (3; 6)

Задача 2 (с дробями)

Реши систему:

{
  2x + y = 1
  3x - 2y = 12
}

Решение:

1. Выразим y из первого уравнения: y = 1 - 2x
2. Подставим во второе: 3x - 2(1 - 2x) = 12
3. Раскроем скобки: 3x - 2 + 4x = 12
4. Приведем подобные: 7x - 2 = 12
5. Решим: 7x = 14 → x = 2
6. Найдем y: y = 1 - 2*2 = 1 - 4 = -3
7. Ответ: (2; -3)

---

📊 Частые ошибки и как их избежать

Ошибка	Как избежать
❌ Неправильно выражают переменную	✅ Переноси слагаемые внимательно, не забывай менять знаки
❌ Путаются при подстановке	✅ Бери выражение в скобки при подстановке
❌ Не делают проверку	✅ Всегда подставляй найденные значения в исходную систему

💪 Практикуйся регулярно! Решение систем — это навык, который улучшается с каждой решенной задачей.

---

🎯 Закрепление материала

Давай решим еще одну систему вместе:

{
  3x + 4y = 10
  x - y = 1
}

Подсказка: вырази x из второго уравнения.