Системы уравнений: метод сложения

Что такое система уравнений и зачем нужен метод сложения? 🤔

Система уравнений — это когда у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (обычно x и y), которые нужно решить одновременно. Метод сложения — это один из самых удобных и мощных способов найти решение!

💡 Главная идея метода: мы складываем или вычитаем уравнения друг из друга так, чтобы одна из переменных (x или y) исчезла. Останется уравнение с одной переменной, которое легко решить!

Алгоритм метода сложения 📋

Давай разберем все по шагам. Следуй этой инструкции — и у тебя всё получится!

1. Запиши систему друг под другом, выравнивая подобные слагаемые (x под x, y под y, число под числом).
2. Проанализируй коэффициенты перед одной из переменных.
3. Подбери множители для каждого уравнения так, чтобы коэффициенты перед одной переменной стали противоположными числами (например, 3 и -3).
4. Сложи почленно левые и правые части уравнений.
5. Реши полученное уравнение с одной переменной.
6. Подставь найденное значение в любое из исходных уравнений и найди вторую переменную.
7. Запиши ответ в виде пары чисел (x; y).
8. Сделай проверку, подставив решение в оба уравнения системы.

---

Разбираем на примере 🧮

Решим систему:

{
  3x + 2y = 8
  5x - 2y = 16
}

Шаг 1: Записываем систему

3x	+ 2y	= 8
5x	- 2y	= 16

Шаг 2: Анализируем коэффициенты

Смотри! Перед переменной y в первом уравнении стоит +2, а во втором — -2. Они уже противоположны! Значит, их можно сразу сложить, и y исчезнет.

Шаг 3 и 4: Складываем уравнения

Сложим левые части и правые части друг с другом.

(3x + 2y) + (5x - 2y) = 8 + 16
3x + 2y + 5x - 2y = 24

Упрощаем:

(3x + 5x) + (2y - 2y) = 24
8x + 0y = 24
8x = 24

Шаг 5: Решаем уравнение с одной переменной

8x = 24
x = 24 / 8
x = 3

Шаг 6: Находим вторую переменную

Подставим x = 3 в первое уравнение (можно и во второе — результат будет тот же).

3 * 3 + 2y = 8
9 + 2y = 8
2y = 8 - 9
2y = -1
y = -1 / 2
y = -0.5

Шаг 7: Записываем ответ

Ответ: (3; -0,5)

Шаг 8: Делаем проверку 🎯

Подставим x=3 и y=-0.5 в оба уравнения:

Первое уравнение: 3*3 + 2*(-0,5) = 9 - 1 = 8 → Верно!

Второе уравнение: 5*3 - 2*(-0,5) = 15 + 1 = 16 → Верно!

Всё сошлось! Решение правильное.

---

Более сложный случай: когда коэффициенты не противоположны 🔍

Часто коэффициенты не такие удобные. Рассмотрим систему:

{
  2x + 3y = 5
  4x + 5y = 7
}

Здесь перед x стоят 2 и 4, а перед y — 3 и 5. Они не противоположны. Что делать?

✍️ Нужно сделать коэффициенты противоположными! Умножим первое уравнение на -2.

Умножаем каждое слагаемое первого уравнения на -2:

-2 * (2x + 3y) = -2 * 5
-4x - 6y = -10

Теперь наша система выглядит так:

-4x	- 6y	= -10
4x	+ 5y	= 7

Теперь коэффициенты перед x противоположны: -4 и 4. Складываем уравнения:

(-4x - 6y) + (4x + 5y) = -10 + 7
-4x - 6y + 4x + 5y = -3
(-4x + 4x) + (-6y + 5y) = -3
0x - y = -3
-y = -3
y = 3

Теперь подставим y = 3 в первое исходное уравнение:

2x + 3*3 = 5
2x + 9 = 5
2x = 5 - 9
2x = -4
x = -2

Ответ: (-2; 3)

Не забудь сделать проверку! 😊

---

Потренируемся! 💪

Реши систему уравнений методом сложения:

{
  4x - 3y = 1
  2x + 3y = 11
}