Свойства степеней с натуральным показателем
Что такое степень? Вспоминаем основы 🎯
Степень — это удобный способ записывать умножение одинаковых чисел. Давай разберемся на примерах!
Запись 7³ означает: 7 × 7 × 7
Где:
7— основание (число, которое умножаем)³— показатель (сколько раз умножаем)
💡 Запомни: показатель степени всегда натуральное число (1, 2, 3, 4...)
Примеры:
5² = 5 × 5 = 25 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000
Умножение степеней с одинаковыми основаниями ➕
Когда умножаем степени с одинаковыми основаниями, показатели складываются!
Формула:
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Разберем на примере:
2³ × 2² = (2×2×2) × (2×2) = 2⁵ = 32
Действительно: 2³ × 2² = 2³⁺² = 2⁵ = 32 ✅
🎯 Важно: основания должны быть одинаковыми! Это правило не работает для разных оснований.
Потренируемся:
7⁴ × 7⁵ = 7⁴⁺⁵ = 7⁹ 3² × 3⁷ = 3²⁺⁷ = 3⁹
Деление степеней с одинаковыми основаниями ➗
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются!
Формула:
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Пример:
5⁷ ÷ 5⁴ = 5⁷⁻⁴ = 5³ = 125
Проверим: (5×5×5×5×5×5×5) ÷ (5×5×5×5) = 5×5×5 = 125 ✅
⚠️ Обрати внимание: показатель степени в результате не может быть меньше 1!
Еще примеры:
10⁸ ÷ 10⁵ = 10⁸⁻⁵ = 10³ 2¹⁰ ÷ 2⁴ = 2¹⁰⁻⁴ = 2⁶
Возведение степени в степень 🔺
Когда возводим степень в другую степень, показатели перемножаются!
Формула:
(aᵐ)ⁿ = aᵐ×ⁿ
Разберем на примере:
(4²)³ = 4² × 4² × 4² = 4²⁺²⁺² = 4⁶
Или проще: (4²)³ = 4²×³ = 4⁶
Потренируемся:
(3⁴)² = 3⁴ײ = 3⁸ (5²)⁵ = 5²×⁵ = 5¹⁰
Степень произведения и частного 📦
Степень произведения:
(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ
Пример: (2 × 3)² = 2² × 3² = 4 × 9 = 36
Степень частного:
(a ÷ b)ⁿ = aⁿ ÷ bⁿ
Пример: (10 ÷ 2)³ = 10³ ÷ 2³ = 1000 ÷ 8 = 125
Сводная таблица свойств степеней 📘
| Свойство | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Умножение | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ |
5³ × 5² = 5⁵ |
| Деление | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ |
7⁵ ÷ 7² = 7³ |
| Степень степени | (aᵐ)ⁿ = aᵐ×ⁿ |
(2³)⁴ = 2¹² |
| Степень произведения | (a×b)ⁿ = aⁿ×bⁿ |
(2×3)² = 2²×3² |
Решаем задачи вместе! 🧮
Задача 1
Упрости выражение: 2⁴ × 2⁵
💡 Решение: Основания одинаковые (2), поэтому складываем показатели
2⁴ × 2⁵ = 2⁴⁺⁵ = 2⁹ = 512
Задача 2
Вычисли: (3⁴)² ÷ 3⁵
💡 Решение: Сначала возводим в степень, потом делим
(3⁴)² ÷ 3⁵ = 3⁸ ÷ 3⁵ = 3⁸⁻⁵ = 3³ = 27
Задача 3
Упрости: (2 × 5)³
(2 × 5)³ = 2³ × 5³ = 8 × 125 = 1000
Проверь себя! ✏️
- Вычисли:
4³ × 4² - Упрости:
(5⁶)² ÷ 5⁸ - Реши:
(2 × 3)⁴ - Найди значение:
7⁵ ÷ 7³
