Формула корней квадратного уравнения

Что такое квадратное уравнение и его корни

Давай разберёмся, что же такое квадратное уравнение. Это уравнение вида:

ax² + bx + c = 0

где:

• a, b, c — это коэффициенты (числа)
• a ≠ 0 (если a будет равно нулю, уравнение станет линейным)
• x — переменная, которую мы ищем

Корни уравнения — это такие значения x, при которых уравнение превращается в верное равенство.

🎯 Запомни: квадратное уравнение всегда имеет два корня! Они могут быть разными, одинаковыми или даже мнимыми (но о последних мы поговорим позже).

---

Дискриминант — ключ к решению 🔑

Чтобы найти корни квадратного уравнения, нам понадобится специальная формула. Но сначала нужно вычислить дискриминант (обозначается буквой D).

Формула дискриминанта:

D = b² - 4ac

Дискриминант показывает, сколько корней имеет уравнение:

Если D	Количество корней
> 0 (положительный)	Два различных корня
= 0 (ноль)	Один корень (два одинаковых)
< 0 (отрицательный)	Нет действительных корней

---

Волшебная формула корней ✨

А вот и главная формула, которую ты ждал!

x = (-b ± √D) / (2a)

Давай разберём её по частям:

• ± — значит "плюс-минус". Мы вычисляем два выражения: одно с плюсом, другое с минусом
• √D — квадратный корень из дискриминанта
• 2a — удвоенный коэффициент при x²

Таким образом, мы получаем два корня:

x₁ = (-b + √D) / (2a)
x₂ = (-b - √D) / (2a)

💡 Совет: всегда записывай оба корня, даже если дискриминант равен нулю. В этом случае x₁ = x₂.

---

Пошаговый алгоритм решения 📋

Чтобы никогда не запутаться, следуй этим шагам:

1. Запиши уравнение в стандартном виде: ax² + bx + c = 0
2. Определи коэффициенты a, b, c
3. Вычисли дискриминант: D = b² - 4ac
4. Проанализируй значение D:
   • Если D < 0 — корней нет
   • Если D = 0 — один корень: x = -b / (2a)
   • Если D > 0 — два корня: x = (-b ± √D) / (2a)
5. Запиши ответ

---

Решаем примеры вместе! 🧮

Пример 1: D > 0

Решим уравнение: x² - 5x + 6 = 0

Шаг 1: Определяем коэффициенты

a = 1, b = -5, c = 6

Шаг 2: Вычисляем дискриминант

D = (-5)² - 4 × 1 × 6 = 25 - 24 = 1

Шаг 3: D > 0, значит два корня

x₁ = (5 + √1) / (2 × 1) = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3
x₂ = (5 - √1) / (2 × 1) = (5 - 1) / 2 = 4 / 2 = 2

Ответ: x₁ = 3; x₂ = 2

Пример 2: D = 0

Решим уравнение: x² - 4x + 4 = 0

Шаг 1: Определяем коэффициенты

a = 1, b = -4, c = 4

Шаг 2: Вычисляем дискриминант

D = (-4)² - 4 × 1 × 4 = 16 - 16 = 0

Шаг 3: D = 0, значит один корень

x = -(-4) / (2 × 1) = 4 / 2 = 2

Ответ: x = 2

Пример 3: D < 0

Решим уравнение: x² + 2x + 5 = 0

Шаг 1: Определяем коэффициенты

a = 1, b = 2, c = 5

Шаг 2: Вычисляем дискриминант

D = 2² - 4 × 1 × 5 = 4 - 20 = -16

Шаг 3: D < 0, значит действительных корней нет

Ответ: действительных корней нет

---

Проверь себя: задачи для самостоятельного решения 💪

Задача 1

Реши уравнение: 2x² - 7x + 3 = 0

💡 Подсказка: не пугайся, что a ≠ 1. Алгоритм работает точно так же!

Решение:

1. a = 2, b = -7, c = 3
2. D = (-7)² - 4 × 2 × 3 = 49 - 24 = 25
3. √D = √25 = 5
4. x₁ = (7 + 5) / 4 = 12 / 4 = 3
5. x₂ = (7 - 5) / 4 = 2 / 4 = 0,5

Ответ: x₁ = 3; x₂ = 0,5