Функция y = k/x и ее график

Что такое функция y = k/x?

Привет! Сегодня мы разберем одну из самых интересных функций — обратную пропорциональность. Она встречается в жизни гораздо чаще, чем кажется! 🤔

Функция записывается так:

y = k/x

Где:

• x — независимая переменная (аргумент)
• y — зависимая переменная (функция)
• k — постоянное число, не равное нулю (коэффициент)

🎯 Запомни: x ≠ 0 и k ≠ 0. На ноль делить нельзя!

Давай разберемся на примере. Пусть k = 12. Тогда функция будет:

y = 12/x

Посчитаем несколько значений:

x	y = 12/x
1	12
2	6
3	4
4	3
6	2
12	1

Видишь закономерность? 📉 Чем больше x, тем меньше y, и наоборот. Это и есть обратная пропорциональность!

---

Свойства функции y = k/x

Давай выделим основные особенности этой функции:

• Область определения: все числа, кроме нуля. x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞)
• Область значений: все числа, кроме нуля. y ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞)
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения
• Поведение:
  • Если k > 0: функция убывает на промежутках x < 0 и x > 0
  • Если k < 0: функция возрастает на промежутках x < 0 и x > 0

💡 Важно: не говорим, что функция убывает или возрастает на всей числовой прямой! Есть разрыв в точке x = 0.

---

График функции — гипербола

А теперь самое интересное — построение графика! 📈 График функции y = k/x называется гиперболой.

Давай построим график для y = 8/x (где k = 8).

Составим таблицу значений:

x	y = 8/x	Точка
-4	-2	(-4; -2)
-2	-4	(-2; -4)
-1	-8	(-1; -8)
1	8	(1; 8)
2	4	(2; 4)
4	2	(4; 2)

Теперь отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавными кривыми. У нас получатся две ветви гиперболы — одна в первой координатной четверти, другая в третьей.

📘 Запомни: при k > 0 ветви гиперболы находятся в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV четвертях.

Гипербола состоит из двух симметричных ветвей, которые никогда не пересекают оси координат, а только приближаются к ним. 📏 Оси координат являются асимптотами гиперболы.

---

Практические задачи

Давай закрепим знания на практике! Решим две задачи.

Задача 1: Построение графика

Построй график функции y = -6/x. В каких четвертях будет находиться гипербола?

Решение:

1. Определяем коэффициент: k = -6 (отрицательный)
2. При k < 0 гипербола будет во II и IV четвертях
3. Составим таблицу значений:

   x	y = -6/x
   -3	2
   -2	3
   -1	6
   1	-6
   2	-3
   3	-2

4. Строим точки и соединяем плавными кривыми

Задача 2: Нахождение значения функции

Функция задана формулой y = 15/x. Найдите значение функции при x = -5 и значение аргумента, при котором y = 3.

Решение:

Часть 1: Найдем y при x = -5

y = 15/(-5) = -3

Часть 2: Найдем x при y = 3

3 = 15/x
x = 15/3 = 5

✅ Проверка: 15/5 = 3 — верно!