Квадратное уравнение: виды и общий вид

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это уравнение, в котором есть переменная x, возведённая во вторую степень (то есть в квадрат). Именно поэтому оно и называется квадратным.

Давай посмотрим на простой пример:

x² - 5x + 6 = 0

Видишь, здесь есть x²? Это главный признак квадратного уравнения!

🎯 Запомни: если в уравнении есть x² (и нет x в более высоких степенях, например x³), то перед тобой квадратное уравнение.

Общий вид квадратного уравнения

Любое квадратное уравнение можно записать в одной стандартной форме. Это и есть его общий вид:

ax² + bx + c = 0

Давай разберёмся, что означают эти буквы:

a — коэффициент перед x². Он никогда не может быть равен нулю.
b — коэффициент перед x.
c — свободный член (число без x).

Буквы a, b и c — это просто числа. Они могут быть положительными, отрицательными и даже равняться нулю (только a не может быть нулём!).

📘 Например, в уравнении 2x² - 4x + 3 = 0:

a = 2

b = -4

c = 3

Виды квадратных уравнений

Квадратные уравнения бывают трёх основных видов. Давай познакомимся с каждым из них.

1. Полное квадратное уравнение

Это уравнение, в котором присутствуют все три компонента: и x², и x, и свободный член.

ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0

📝 Примеры полных квадратных уравнений:

3x² + 2x - 5 = 0
-x² + 7x + 1 = 0 (здесь a = -1)

2. Неполное квадратное уравнение

Это уравнение, в котором один из коэффициентов b или c (или даже оба) равны нулю. Такие уравнения решать немного проще.

Выделяют три типа неполных уравнений:

Тип	Вид уравнения	Пример
1️⃣ Нет `bx`	`ax² + c = 0`	`4x² - 16 = 0`
2️⃣ Нет `c`	`ax² + bx = 0`	`3x² + 6x = 0`
3️⃣ Нет `bx` и `c`	`ax² = 0`	`7x² = 0`

3. Приведённое квадратное уравнение

Это особый вид полного квадратного уравнения, у которого коэффициент a = 1.

x² + bx + c = 0

➕ Например:

x² - 5x + 6 = 0
x² + 3x - 10 = 0

💡 Любое квадратное уравнение можно сделать приведённым, если разделить все его коэффициенты на a. Это часто упрощает решение.

Закрепляем на практике

Давай потренируемся определять виды квадратных уравнений.

Задача 1. Определи вид уравнения

Условие: Определи коэффициенты a, b, c и вид уравнения: -2x² + x = 0

Решение:

Сначала найдём коэффициенты:
- a = -2 (коэффициент перед x²)
- b = 1 (коэффициент перед x)
- c = 0 (свободный член отсутствует)
Теперь посмотрим на вид уравнения. Поскольку c = 0, но b ≠ 0, это неполное квадратное уравнение второго типа.

Задача 2. Приведи уравнение к стандартному виду

Условие: Запиши уравнение в общем виде и определи его коэффициенты: 3x - 2 + 5x² = 0