Квадратные корни: определение и свойства

Что такое квадратный корень? 🤔

Представь, что у тебя есть квадрат площадью 25 квадратных единиц. Как найти длину его стороны? Какое число нужно умножить само на себя, чтобы получить 25?

Правильно! Это число 5, потому что 5 × 5 = 25. А также число -5, потому что (-5) × (-5) = 25.

Вот это число и называется квадратным корнем из 25.

🎯 Определение: Квадратным корнем из числа a называется такое число b, квадрат которого равен a.

Математическая запись: √a = b, если b² = a.

Символ √ называется знаком радикала.

Арифметический квадратный корень 📏

Обрати внимание: у положительного числа всегда есть два квадратных корня — положительный и отрицательный! Но есть важное правило:

📌 Важно! Запись √a означает только неотрицательный квадратный корень. Его называют арифметическим квадратным корнем.

Например:

• √25 = 5 (а не -5)
• √100 = 10
• √0 = 0

А полное уравнение с двумя корнями записывается так: x² = 25, откуда x = √25 и x = -√25, то есть x = 5 и x = -5.

---

Свойства квадратных корней 🔍

Давай разберем главные правила, которые помогут тебе работать с корнями.

1. Корень из произведения ➕

Корень из произведения равен произведению корней!

📘 Формула: √(a * b) = √a * √b

Это работает только для неотрицательных a и b.

Пример:

√(36 * 4) = √144 = 12

√36 * √4 = 6 * 2 = 12

Видишь? Результат одинаковый! Это свойство помогает упрощать вычисления.

2. Корень из частного ➗

Похожее правило работает и для деления.

📘 Формула: √(a / b) = √a / √b

Где a ≥ 0, а b > 0.

Пример:

√(49 / 16) = √3.0625 = 1.75

√49 / √16 = 7 / 4 = 1.75

3. Корень из степени ⚡

Если число под корнем возведено в квадрат, то корень и степень «сокращаются».

📘 Формула: √(a²) = |a|

Почему модуль? Потому что арифметический корень всегда неотрицательный!

Примеры:

• √(7²) = |7| = 7
• √((-3)²) = |-3| = 3

---

Важные моменты и ограничения 🚫

С корнями есть несколько тонкостей, которые нужно обязательно помнить.

Область определения

Ты не можешь извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Вернее, не можешь получить действительное число.

🔺 Выражение √a имеет смысл только при a ≥ 0.

Почему? Потому что при возведении любого действительного числа в квадрат мы получаем неотрицательный результат.

• √(-9) — не существует (в области действительных чисел)
• √0 = 0
• √16 = 4

Таблица квадратов 🎯

Выучи эти значения — они встречаются чаще всего!

Число	Квадрат числа	Квадратный корень
1	1² = 1	√1 = 1
2	2² = 4	√4 = 2
3	3² = 9	√9 = 3
4	4² = 16	√16 = 4
5	5² = 25	√25 = 5
6	6² = 36	√36 = 6
7	7² = 49	√49 = 7
8	8² = 64	√64 = 8
9	9² = 81	√81 = 9
10	10² = 100	√100 = 10

---

Решаем задачи вместе! ✨

Давай закрепим знания на практике.

Задача

Условие: Вычислить √(9 * 25), используя свойства корней.