Преобразование выражений со степенями

📘 Основные понятия о степенях

Давайте начнём с самого главного — что такое степень? Это очень удобный способ записывать умножение одинаковых чисел.

Например:

5³ = 5 × 5 × 5 = 125

Здесь число 5 — это основание, а число 3 — это показатель степени.

Запомните важное правило:

Любое число в нулевой степени равно единице: a⁰ = 1

Давайте потренируемся:

• 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
• 10² = 10 × 10 = 100
• 7¹ = 7
• 3⁰ = 1

---

➕ Умножение степеней

Когда мы умножаем степени с одинаковыми основаниями, показатели складываются!

aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ

Давайте разберём на примере:

2³ × 2⁴ = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) = 2⁷

Видите? Три двойки плюс четыре двойки — всего семь двоек!

Попробуйте решить:

5² × 5³ = ?

Решение:

5² × 5³ = 5²⁺³ = 5⁵ = 3125

---

➗ Деление степеней

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются:

aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ

Пример:

4⁵ ÷ 4² = 4⁵⁻² = 4³ = 64

Почему так работает? Давайте представим:

4⁵ ÷ 4² = (4 × 4 × 4 × 4 × 4) ÷ (4 × 4) = 4 × 4 × 4 = 4³

Две четвёрки в числителе и две в знаменателе сокращаются!

Запомните: aᵐ ÷ aᵐ = aᵐ⁻ᵐ = a⁰ = 1 — это подтверждает правило о нулевой степени!

---

🔢 Возведение степени в степень

Когда мы возводим степень в другую степень, показатели перемножаются:

(aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ

Пример:

(2³)⁴ = 2³×⁴ = 2¹² = 4096

Почему? Потому что:

(2³)⁴ = 2³ × 2³ × 2³ × 2³ = 2³⁺³⁺³⁺³ = 2¹²

Давайте решим вместе:

(5²)³ = ?

Решение:

(5²)³ = 5²×³ = 5⁶ = 15625

---

📏 Степень произведения и частного

Когда нужно возвести в степень произведение или частное, можно возвести в степень каждый множитель:

(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ

(a ÷ b)ⁿ = aⁿ ÷ bⁿ

Примеры:

(2 × 3)² = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

(10 ÷ 2)³ = 10³ ÷ 2³ = 1000 ÷ 8 = 125

---

🎯 Практические задания

Теперь давайте применим все правила вместе!

Задача 1

Упростите выражение: 2³ × 2⁵ ÷ 2⁴

Пошаговое решение:

1. Сначала умножение: 2³ × 2⁵ = 2³⁺⁵ = 2⁸
2. Теперь деление: 2⁸ ÷ 2⁴ = 2⁸⁻⁴ = 2⁴
3. Ответ: 2⁴ = 16

Задача 2

Упростите выражение: (3²)⁴ × 3³ ÷ 3⁵

Пошаговое решение:

1. Сначала степень в степени: (3²)⁴ = 3²×⁴ = 3⁸
2. Теперь умножение: 3⁸ × 3³ = 3⁸⁺³ = 3¹¹
3. Деление: 3¹¹ ÷ 3⁵ = 3¹¹⁻⁵ = 3⁶
4. Ответ: 3⁶ = 729

Задача 3

Вычислите: (2 × 5)³ ÷ 10²

Пошаговое решение:

1. Сначала степень произведения: (2 × 5)³ = 2³ × 5³
2. Подставляем: 2³ × 5³ ÷ 10²
3. Заметим, что 10² = (2 × 5)² = 2² × 5²
4. Теперь: 2³ × 5³ ÷ (2² × 5²) = 2³⁻² × 5³⁻² = 2¹ × 5¹
5. Ответ: 2 × 5 = 10