Рациональные дроби: основное свойство, сокращение

Что такое рациональные дроби?

Рациональная дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами. Она очень похожа на обыкновенные дроби, которые ты уже хорошо знаешь, но вместо чисел здесь могут быть целые выражения.

Вот несколько примеров:

• (x + 5) / 3
• (2a² - b) / (a + 1)
• 7 / (y - 4)

Главное правило: знаменатель не может быть равен нулю! Потому что на ноль делить нельзя. Всегда нужно помнить об этом ограничении.

💡 Запомни: если в знаменателе стоит выражение, например, (x - 3), то x ≠ 3. Всегда исключай значения переменных, которые обращают знаменатель в ноль.

---

Основное свойство рациональной дроби

Это свойство тебе уже знакомо по обычным дробям! Оно гласит:

📘 Значение дроби не изменится, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число или выражение, не равное нулю.

На математическом языке это выглядит так:

A/B = (A * C)/(B * C)

и

A/B = (A : C)/(B : C)

где A, B и C — многочлены, причем B и C не равны нулю.

Давай посмотрим на примере с числами, чтобы убедиться в этом:

4/6 = (4 : 2)/(6 : 2) = 2/3

2/3 = (2 * 5)/(3 * 5) = 10/15

С рациональными дробями работает точно такой же принцип!

---

Сокращение рациональных дробей

Сокращение — это деление числителя и знаменателя на их общий множитель. Мы используем основное свойство дроби, чтобы упростить её вид.

Алгоритм сокращения рациональной дроби:

1. Разложи числитель и знаменатель на множители.
2. Найди общие множители в числителе и знаменателе.
3. Раздели числитель и знаменатель на эти общие множители.

Давай разберем на конкретном примере.

Пример 1: Сократите дробь (6x²y)/(9xy³)

Решение:

1. Запишем числитель и знаменатель в виде произведения:

   6x²y = 2 * 3 * x * x * y

   9xy³ = 3 * 3 * x * y * y * y

2. Найдем общие множители: это 3, x и y.
3. Сократим (разделим числитель и знаменатель на общие множители):

   (6x²y)/(9xy³) = (2 * x)/(3 * y²) = (2x)/(3y²)

Готово! Дробь сокращена.

🎯 Совет: всегда старайся сначала разложить выражения на множители — это ключ к успешному сокращению.

---

Практика: решаем задачи вместе

Задача 1: Сократи дробь (x² - 9) / (x² + 6x + 9)

Решение:

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.

   Числитель: x² - 9 — это разность квадратов.

   x² - 9 = (x - 3)(x + 3)

   Знаменатель: x² + 6x + 9 — это квадрат суммы.

   x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3)(x + 3)

2. Запишем дробь с разложенными множителями:

   ((x - 3)(x + 3)) / ((x + 3)(x + 3))

3. Сократим общий множитель (x + 3):

   (x - 3) / (x + 3)

4. Укажем ограничение: знаменатель не должен быть равен нулю.

   x + 3 ≠ 0  =>  x ≠ -3

Ответ: (x - 3)/(x + 3), при x ≠ -3

Задача 2: Сократи дробь (2a² - 8) / (a² + 4a + 4)

Решение:

1. Разложим на множители числитель и знаменатель.

   В числителе вынесем общий множитель и воспользуемся формулой:

   2a² - 8 = 2(a² - 4) = 2(a - 2)(a + 2)

   Знаменатель свернем по формуле квадрата суммы:

   a² + 4a + 4 = (a + 2)² = (a + 2)(a + 2)

2. Запишем и сократим:

   (2(a - 2)(a + 2)) / ((a + 2)(a + 2)) = 2(a - 2) / (a + 2)

3. Укажем ограничение:

   a + 2 ≠ 0  =>  a ≠ -2

Ответ: 2(a - 2)/(a + 2), при a ≠ -2

---

Важные моменты для запоминания

Что делать?	Пример	Как избежать ошибки
Всегда указывай ограничения	x ≠ 3 для 1/(x-3)	Приравняй знаменатель к нулю и реши уравнение
Сокращай только множители!	Можно: (a(a+b))/(b(a+b)) = a/b	Нельзя сокращать слагаемые! (a+b)/(a+c) ≠ b/c
Помни про формулы сокращенного умножения	a² - b² = (a-b)(a+b)	Повтори эти формулы — они часто нужны

🌟 Золотое правило: если сомневаешься, можно ли сократить — разложи на множители! Это самый надежный способ.