Решение линейных неравенств с одной переменной

Что такое линейное неравенство?

Привет! 👋 Сегодня мы разберем очень важную тему — решение линейных неравенств. Это похоже на решение уравнений, но с одним интересным отличием: вместо знака «равно» мы будем использовать знаки «больше», «меньше» и их комбинации.

🎯 Неравенство — это два выражения, соединенные знаком > (больше), < (меньше), ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно).

Вот примеры линейных неравенств с одной переменной (обычно это x):

• 2x + 3 > 7
• 5 - x ≤ 10
• 3(x - 4) ≥ 2x + 1

Наша цель — найти все значения x, которые превращают неравенство в верное утверждение. Эти значения называются решением неравенства.

---

Основные правила решения неравенств 📘

Правила очень похожи на правила решения уравнений, но есть одно важное исключение! Запомни его как супер-правило. 🦸

Мы можем выполнять одинаковые операции с обеими частями неравенства:

• ➕ Прибавлять одно и то же число к обеим частям
• ➖ Вычитать одно и то же число из обеих частей
• ✖️ Умножать обе части на одно и то же положительное число
• ➗ Делить обе части на одно и то же положительное число

⚠️ Внимание! Если мы умножаем или делим обе части неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный! (> меняется на <, ≤ меняется на ≥ и наоборот).

Это самое главное правило, которое нельзя забывать!

---

Пошаговый алгоритм решения

Давай выработаем четкий план действий. Следуй этим шагам, и у тебя всё получится!

1. Раскрой скобки (если они есть).
2. Перенеси все слагаемые с переменной в одну часть неравенства, а числа — в другую. Не забывай менять знаки при переносе!
3. Приведи подобные слагаемые.
4. Раздели обе части неравенства на коэффициент перед переменной. Помни про правило знака!
5. Запиши ответ в виде промежутка или неравенства.

---

Решаем примеры вместе 🧮

Давай закрепим теорию на практике. Разберем несколько примеров от простого к сложному.

Пример 1: Простое неравенство

Условие: Решить неравенство 3x - 5 > 4

Решение:

1. Переносим число -5 в правую часть, меняя знак:

   3x > 4 + 5

2. Выполняем сложение:

   3x > 9

3. Делим обе части на 3 (число положительное, знак не меняется!):

   x > 3

Ответ: x > 3

Пример 2: С умножением на отрицательное число

Условие: Решить неравенство -2x + 7 ≤ 3

Решение:

1. Переносим число 7 в правую часть:

   -2x ≤ 3 - 7

2. Выполняем вычитание:

   -2x ≤ -4

3. Делим обе части на -2 (отрицательное число — меняем знак!):

   x ≥ 2

Ответ: x ≥ 2

✨ Видишь, как важно было помнить про смену знака? Без этого мы бы получили неверный ответ!

Пример 3: Со скобками

Условие: Решить неравенство 2(x - 3) ≥ 4x + 2

Решение:

1. Раскрываем скобки:

   2x - 6 ≥ 4x + 2

2. Переносим слагаемые с x влево, числа вправо:

   2x - 4x ≥ 2 + 6

3. Приводим подобные слагаемые:

   -2x ≥ 8

4. Делим на -2 (меняем знак!):

   x ≤ -4

Ответ: x ≤ -4

---

Как записывать ответ? 📏

Ответ можно записать двумя способами:

1. Просто неравенством: x < 5
2. В виде числового промежутка: (-∞; 5)

Давай разберемся со вторым способом, он очень наглядный!

Неравенство	Числовой промежуток	Как читать
x > a	(a; +∞)	Икс больше a, но не включает a
x ≥ a	[a; +∞)	Икс больше или равен a, включает a
x < a	(-∞; a)	Икс меньше a, но не включает a
x ≤ a	(-∞; a]	Икс меньше или равен a, включает a

📌 Запомни: круглая скобка «( )» означает, что число не входит в промежуток, а квадратная «[ ]» — что входит. Бесконечность всегда записывается с круглой скобкой!

Вернемся к нашим примерам:

• Ответ x > 3 можно записать как (3; +∞)
• Ответ x ≥ 2 можно записать как [2; +∞)
• Ответ x ≤ -4 можно записать как (-∞; -4]