Решение систем линейных неравенств

Что такое система линейных неравенств?

Система линейных неравенств — это несколько неравенств с одной переменной, которые нужно решить одновременно 📘. Решением системы будет такое значение переменной, которое удовлетворяет всем неравенствам сразу.

💡 Совет: представьте, что система — это несколько условий, которые должны выполняться вместе. Например, "x > 3" И "x < 7" одновременно.

Алгоритм решения систем

Решать системы линейных неравенств нужно последовательно, шаг за шагом:

1. Решить каждое неравенство отдельно
2. Найти общую часть всех решений (пересечение)
3. Изобразить решение на числовой прямой
4. Записать ответ в виде промежутка

---

Пример 1: Простая система

Решим систему:

x + 3 > 0
2x - 5 ≤ 3

Шаг 1: Решим каждое неравенство отдельно

Первое неравенство:

x + 3 > 0
x > -3

Второе неравенство:

2x - 5 ≤ 3
2x ≤ 8
x ≤ 4

Шаг 2: Найдем общее решение

Нам нужно, чтобы выполнялось одновременно: x > -3 и x ≤ 4

Шаг 3: Изобразим на числовой прямой:

    -3     4
-----○=====●→
     ↑     ↑
    x>-3  x≤4

Шаг 4: Запишем ответ: x ∈ (-3; 4]

🎯 Запомните: круглая скобка "(" означает, что число не входит в промежуток, а квадратная "]" — что входит.

---

Пример 2: Система с тремя неравенствами

Решим систему:

3x - 2 < 7
x + 4 ≥ 2
5 - x > 1

Шаг 1: Решим каждое неравенство:

Первое: 3x < 9 → x < 3

Второе: x ≥ -2

Третье: -x > -4 → x < 4 (делили на -1, знак поменялся!)

Шаг 2: Найдем общее решение:

Нужно: x < 3 и x ≥ -2 и x < 4

Шаг 3: Изобразим на числовой прямой:

    -2    3
====●=====○---→

Шаг 4: Ответ: x ∈ [-2; 3)

---

Особые случаи 🚨

Случай 1: Нет решения

Рассмотрим систему:

x > 5
x < 2

Эти условия не могут выполняться одновременно! Число не может быть больше 5 и меньше 2.

Ответ: нет решений

Случай 2: Все числа являются решением

Рассмотрим систему:

x ≥ -1
x > -3

Если x ≥ -1, то автоматически x > -3. Поэтому решение — все числа от -1 до ∞.

Ответ: x ∈ [-1; +∞)

---

Практические задачи

Задача 1

Решите систему:

2x + 1 > 5
3x - 2 ≤ 10

Решение:

Первое неравенство: 2x > 4 → x > 2

Второе неравенство: 3x ≤ 12 → x ≤ 4

Ответ: x ∈ (2; 4]

Задача 2

Решите систему:

4(x - 1) ≥ 2x + 3
5 - x < 2

Решение:

Первое неравенство: 4x - 4 ≥ 2x + 3 → 2x ≥ 7 → x ≥ 3,5

Второе неравенство: -x < -3 → x > 3

Ответ: x ∈ [3,5; +∞) (так как x ≥ 3,5 включает все числа от 3,5 и больше)

---

Проверь себя ✨

Тест-задача

Решите систему и выберите правильный ответ:

x + 2 ≤ 4
2x - 1 > 3

Вариант	Ответ
A	x ∈ (2; 2]
B	x ∈ (2; +∞)
C	x ∈ [2; +∞)
D	нет решений

Решение:

Первое неравенство: x ≤ 2

Второе неравенство: 2x > 4 → x > 2

Нужно одновременно x ≤ 2 и x > 2 — такого быть не может!

Правильный ответ: D) нет решений

🔥 Важно: всегда проверяйте, есть ли общая часть у решений каждого неравенства!

---

Итоги урока

• ✅ Система неравенств требует выполнения ВСЕХ условий одновременно
• ✅ Решение — пересечение решений каждого неравенства
• ✅ Изображайте решение на числовой прямой для наглядности
• ✅ Помните о special cases — когда решений нет или их бесконечно много
• ✅ Внимательно работайте со знаками при умножении/делении на отрицательное число

Решайте системы неравенств последовательно, и у вас всё получится! 💪