Решение задач с помощью квадратных уравнений

🎯 Что такое задачи на квадратные уравнения?

Квадратные уравнения — это мощный инструмент для решения реальных задач из жизни! С их помощью можно находить стороны фигур, вычислять время движения, определять площади и многое другое.

💡 Запомни: квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Его корни (решения) — это и есть ответы к задачам!

📋 Алгоритм решения задач

Чтобы успешно решать задачи, следуй этим шагам:

1. Внимательно прочитай условие и определи, что нужно найти
2. Выбери переменную (обычно x) для неизвестной величины
3. Составь уравнение по условию задачи
4. Приведи уравнение к стандартному виду: ax² + bx + c = 0
5. Реши уравнение через дискриминант
6. Проверь, какие корни подходят по смыслу задачи
7. Запиши ответ

🎓 Совет: всегда проверяй, чтобы ответ был реалистичным! Отрицательные корни часто не подходят для задач про длину, время или количество.

---

🧮 Пример 1: Задача на площадь прямоугольника

Условие: Длина прямоугольника на 5 см больше ширины. Площадь прямоугольника равна 84 см². Найдите стороны прямоугольника.

Решение:

1. Пусть x — ширина прямоугольника, тогда длина будет x + 5

2. Составляем уравнение площади: x(x + 5) = 84

3. Преобразуем: x² + 5x - 84 = 0

4. Находим дискриминант: D = 5² - 4×1×(-84) = 25 + 336 = 361

5. Корни уравнения: x = (-5 ± √361)/2 = (-5 ± 19)/2

Получаем: x₁ = 7, x₂ = -12

6. Отбрасываем отрицательный корень (ширина не может быть отрицательной)

7. Ответ: ширина = 7 см, длина = 7 + 5 = 12 см

---

⏰ Пример 2: Задача на движение

Условие: Велосипедист проехал 48 км. Если бы он увеличил скорость на 4 км/ч, то проехал бы этот путь на 1 час быстрее. Найдите первоначальную скорость велосипедиста.

Решение:

1. Пусть x км/ч — первоначальная скорость

2. Тогда время в пути: 48/x часов

3. Новая скорость: x + 4 км/ч

4. Новое время: 48/(x + 4) часов

5. Разница во времени: 48/x - 48/(x + 4) = 1

6. Составляем уравнение: 48/x - 48/(x + 4) = 1

7. Умножаем обе части на x(x + 4): 48(x + 4) - 48x = x(x + 4)

8. Упрощаем: 48x + 192 - 48x = x² + 4x → 192 = x² + 4x

9. Переносим все в одну сторону: x² + 4x - 192 = 0

10. Решаем через дискриминант: D = 16 + 768 = 784, √784 = 28

11. Корни: x = (-4 ± 28)/2 → x₁ = 12, x₂ = -16

12. Подходит только положительный корень: 12 км/ч

13. Ответ: первоначальная скорость 12 км/ч

---

🔺 Пример 3: Задача на геометрию

Условие: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а один из катетов на 7 см больше другого. Найдите катеты.

Решение:

1. Пусть x — меньший катет, тогда второй катет x + 7

2. По теореме Пифагора: x² + (x + 7)² = 13²

3. Раскрываем скобки: x² + x² + 14x + 49 = 169

4. Упрощаем: 2x² + 14x + 49 - 169 = 0 → 2x² + 14x - 120 = 0

5. Делим на 2: x² + 7x - 60 = 0

6. Дискриминант: D = 49 + 240 = 289, √289 = 17

7. Корни: x = (-7 ± 17)/2 → x₁ = 5, x₂ = -12

8. Берем положительный корень: 5 см

9. Ответ: катеты 5 см и 12 см (5 + 7 = 12)

---

📊 Типичные виды задач для тренировки

Тип задачи	Пример уравнения	Что найти
Площадь фигур	x(x + 5) = 84	Стороны прямоугольника
Движение	48/x - 48/(x + 4) = 1	Скорость
Проценты	x(1 + 0.1)² = 121	Начальную сумму
Геометрия	x² + (x + 7)² = 13²	Катеты треугольника

💪 Практические задания для самостоятельной работы

1. Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 210. Найдите эти числа.
2. Периметр прямоугольника 46 см, а площадь 120 см². Найдите стороны.
3. Катер прошел 40 км по течению и 16 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения 2 км/ч.