Сложение и умножение числовых неравенств

Что такое числовые неравенства?

Привет! 👋 Давай начнём с самого начала. Числовое неравенство — это просто два числа, соединённые знаком сравнения. Например:

5 < 10 или 7 > 3

Мы уже умеем их сравнивать. Но сегодня мы научимся их складывать и умножать! Это поможет нам решать более сложные и интересные задачи.

💡 Совет: Представь, что неравенства — это весы. Знак «>» показывает, какая чаша перевешивает. Наша задача — научиться аккуратно складывать и взвешивать эти «чаши» вместе.

---

Сложение неравенств ➕

Складывать неравенства можно, только если их знаки идут в одном направлении («стрелки» смотрят в одну сторону).

Посмотри на два верных неравенства:

5 > 3 и 8 > 4

Если мы сложим их левые и правые части отдельно, получим:

(5 + 8) > (3 + 4)
13 > 7

И это абсолютно верно! 13 действительно больше 7. 🎯

Давай сформулируем правило:

Если a > b и c > d, то a + c > b + d.

То же самое работает и со знаками «меньше» (<):

2 < 6 и 1 < 9
(2 + 1) < (6 + 9)
3 < 15 ✅

Задача на сложение

📝 Условие: Известно, что 12 > 10 и 5 > 2. Сложи неравенства и докажи, что полученное неравенство верное.

🧮 Решение:

1. Складываем левые части: 12 + 5 = 17
2. Складываем правые части: 10 + 2 = 12
3. Получаем новое неравенство: 17 > 12
4. Проверяем: 17 действительно больше 12. Всё верно! ✅

---

Умножение неравенств ✖️

С умножением немного интереснее. Здесь важно, являются ли числа положительными или отрицательными.

Умножение положительных чисел

Если мы умножаем два верных неравенства с положительными числами, правило очень похоже на сложение.

Возьмём, например:

4 > 2 и 5 > 3

Умножим их левые и правые части:

(4 * 5) > (2 * 3)
20 > 6 ✅

Правило: Если a > b > 0 и c > d > 0, то a * c > b * d.

Умножение с отрицательными числами 🔺

Вот здесь нужно быть очень внимательным! При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Представь:

5 > 3 — это верно.

Но если мы умножим обе части на отрицательное число, например, на -1:

5 * (-1) > 3 * (-1)
-5 > -3 ❌

Это же неверно! -5 находится левее на числовой прямой, а значит, оно меньше -3.

Чтобы неравенство стало верным, нам нужно поменять знак:

-5 < -3 ✅

Это самое важное правило в умножении неравенств!

💡 Золотое правило: При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Задача на умножение

📝 Условие: Даны неравенства: 6 > 4 и 7 > 5. Перемножь их.

🧮 Решение:

1. Умножаем левые части: 6 * 7 = 42
2. Умножаем правые части: 4 * 5 = 20
3. Получаем: 42 > 20
4. Проверяем: 42 больше 20. Всё правильно! ✅

Комбинированная задача

📝 Условие: Известно, что 3 < x < 5 и 2 < y < 4. Оцени выражение x + y.

🧮 Решение:

1. Нам нужно сложить два неравенства. Они одного знака («<»), значит, можем складывать.
2. Сложим соответствующие части:
   • Минимумы: 3 + 2 = 5
   • Максимумы: 5 + 4 = 9
3. Получаем оценку для суммы: 5 < x + y < 9

Это значит, что сумма x и y будет больше 5, но меньше 9.

---

Сводная таблица правил 📘

Действие	Условие	Правило
Сложение	Знаки одинаковы	a > b, c > d ⇒ a+c > b+d
Умножение	Все числа положительные	a > b > 0, c > d > 0 ⇒ a*c > b*d
Умножение на число	Число положительное	Знак не меняется
Умножение на число	Число отрицательное	Знак меняется на противоположный

---

Закрепляем на практике

Задача 1

📝 Условие: Сложи неравенства: 15 > 9 и 10 > 6.

Показать решение

🧮 Решение:

1. 15 + 10 = 25
2. 9 + 6 = 15
3. 25 > 15 ✅