Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями
Что такое рациональные дроби?
Рациональные дроби — это дроби, у которых и числитель, и знаменатель являются многочленами. Сегодня мы научимся складывать и вычитать такие дроби, когда у них одинаковые знаменатели. Это как складывать обычные дроби с одинаковым знаменателем! 🎯
Давай вспомним основное правило для обычных дробей:
При одинаковых знаменателях мы складываем или вычитаем только числители, а знаменатель оставляем без изменений.
С рациональными дробями работает точно такой же принцип! ✨
Основное правило сложения и вычитания
Для двух рациональных дробей с одинаковыми знаменателями:
A/C + B/C = (A + B)/C
A/C - B/C = (A - B)/C
Где A, B и C — многочлены (причем C ≠ 0).
Давай разберем на простом примере:
Пример 1 📘
Условие: Выполните сложение дробей:
(3x + 2)/(x + 1) + (x - 5)/(x + 1)
Пошаговое решение:
- Знаменатели одинаковые: (x + 1)
- Складываем числители: (3x + 2) + (x - 5)
- Упрощаем числитель: 3x + 2 + x - 5 = 4x - 3
- Записываем результат: (4x - 3)/(x + 1)
Ответ: (4x - 3)/(x + 1)
Видишь, как все просто? 😊 Теперь попробуем с вычитанием!
Важные моменты, которые нужно запомнить
Всегда упрощайте полученный числитель! Складывайте подобные слагаемые и приводите выражение к простейшему виду.
Не забудьте проверить, что знаменатель действительно одинаковый. Это важно!
Если в ответе числитель и знаменатель имеют общие множители, дробь нужно сократить.
Рассмотрим пример с вычитанием и сокращением:
Пример 2 🔺
Условие: Выполните вычитание:
(5a² - 2a)/(a - 3) - (3a² + a)/(a - 3)
Пошаговое решение:
- Знаменатели одинаковые: (a - 3)
- Вычитаем числители: (5a² - 2a) - (3a² + a)
- Раскрываем скобки: 5a² - 2a - 3a² - a
- Упрощаем: 2a² - 3a
- Записываем результат: (2a² - 3a)/(a - 3)
- Сокращаем общий множитель a: a(2a - 3)/(a - 3)
Ответ: a(2a - 3)/(a - 3)
Практические задания
Теперь давай потренируемся! Реши эти примеры самостоятельно, а потом сверься с решениями.
Задание 1 ➕
Условие: Выполните сложение:
(4b + 7)/(b² - 1) + (2b - 3)/(b² - 1)
Решение:
- Знаменатели одинаковые
- Складываем числители: (4b + 7) + (2b - 3) = 6b + 4
- Результат: (6b + 4)/(b² - 1)
- Можно вынести 2 в числителе: 2(3b + 2)/(b² - 1)
Задание 2 ➖
Условие: Выполните вычитание:
(7x² + 4x - 1)/(2x + 5) - (3x² - 2x + 4)/(2x + 5)
Решение:
- Знаменатели одинаковые
- Вычитаем числители: (7x² + 4x - 1) - (3x² - 2x + 4)
- Раскрываем скобки: 7x² + 4x - 1 - 3x² + 2x - 4
- Упрощаем: 4x² + 6x - 5
- Результат: (4x² + 6x - 5)/(2x + 5)
Таблица-шпаргалка
| Действие | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Сложение | A/C + B/C = (A + B)/C | (2x + 3)/5 + (x - 1)/5 = (3x + 2)/5 |
| Вычитание | A/C - B/C = (A - B)/C | (4y + 1)/3 - (y + 2)/3 = (3y - 1)/3 |
Запомни эту табличку — она поможет тебе на контрольной! 📏
Частые ошибки и как их избежать
- Неверное раскрытие скобок — помни, что минус перед скобкой меняет все знаки внутри
- Забыли упростить числитель — всегда приводи подобные слагаемые
- Пытаются сложить знаменатели — знаменатель остается неизменным!
Давай разберем типичную ошибку на примере:
Неправильно: (x + 2)/4 + (x - 1)/4 = (2x + 1)/8
Правильно: (x + 2)/4 + (x - 1)/4 = (2x + 1)/4
Закрепляющая задача
Финальное задание 🎓
Условие: Упростите выражение:
(3m² + 2m - 1)/(m - 2) - (m² - 4m + 3)/(m - 2) + (2m² - m)/(m - 2)
Пошаговое решение:
- Все дроби имеют одинаковый знаменатель (m - 2)
- Объединяем числители: (3m² + 2m - 1) - (m² - 4m + 3) + (2m² - m)
- Раскрываем скобки: 3m² + 2m - 1 - m² + 4m - 3 + 2m² - m
- Упрощаем: (3m² - m² + 2m²) + (2m + 4m - m) + (-1 - 3) = 4m² + 5m - 4
- Записываем ответ: (4m² + 5m - 4)/(m - 2)
Молодец! Теперь ты умеешь складывать и вычитать рациональные дроби с одинаковыми знаменателями!
