Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями

Что такое рациональные дроби и зачем нам общий знаменатель? 🎯

Рациональные дроби — это обыкновенные дроби, которые мы с вами уже хорошо знаем. Они состоят из числителя и знаменателя. Например:

1/2, 3/4, 5/6

Когда знаменатели одинаковые, складывать и вычитать дроби очень просто:

2/5 + 1/5 = 3/5

Но что делать, если знаменатели разные? Давайте разберемся!

Запомните золотое правило: нельзя складывать дроби с разными знаменателями, пока не приведем их к общему знаменателю!

Как найти общий знаменатель? 🔍

Общий знаменатель — это число, которое делится на каждый из знаменателей без остатка. Самый надежный способ — найти наименьшее общее кратное (НОК).

Рассмотрим на примере:

1/4 + 2/3

Знаменатели: 4 и 3

Находим НОК(4, 3):

• Кратные 4: 4, 8, 12, 16...
• Кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15...
• Наименьшее общее кратное: 12

Теперь нужно привести обе дроби к знаменателю 12:

1/4 = (1×3)/(4×3) = 3/12 2/3 = (2×4)/(3×4) = 8/12

---

Пошаговый алгоритм сложения/вычитания 📋

1. Найти общий знаменатель для всех дробей
2. Привести каждую дробь к общему знаменателю
3. Сложить или вычесть числители
4. Записать результат над общим знаменателем
5. Упростить дробь (если возможно)

Решаем примеры вместе! ✍️

Задача 1: Вычислите 2/3 + 1/5

Решение:

1. Находим общий знаменатель: НОК(3, 5) = 15
2. Приводим дроби: 2/3 = (2×5)/(3×5) = 10/15 1/5 = (1×3)/(5×3) = 3/15
3. Складываем числители: 10 + 3 = 13
4. Записываем ответ: 13/15

Задача 2: Вычислите 7/8 - 1/4

Решение:

1. Общий знаменатель: НОК(8, 4) = 8
2. Приводим дроби: 7/8 = 7/8 (уже с нужным знаменателем) 1/4 = (1×2)/(4×2) = 2/8
3. Вычитаем числители: 7 - 2 = 5
4. Записываем ответ: 5/8

---

Особый случай: когда знаменатели имеют общие множители 🔺

Иногда знаменатели имеют общие делители. В этом случае НОК будет меньше, чем простое умножение знаменателей.

Задача 3: Вычислите 5/6 + 3/4

Решение:

1. Знаменатели: 6 и 4. Раскладываем на простые множители:
   • 6 = 2 × 3
   • 4 = 2 × 2
2. НОК = 2 × 2 × 3 = 12 (берем наибольшие степени каждого простого множителя)
3. Приводим дроби: 5/6 = (5×2)/(6×2) = 10/12 3/4 = (3×3)/(4×3) = 9/12
4. Складываем: 10/12 + 9/12 = 19/12
5. Упрощаем: 19/12 = 1 7/12 (выделяем целую часть)

Совет: всегда проверяйте, можно ли сократить полученную дробь! Это сделает ответ более аккуратным и правильным.

Потренируемся! 💪

Теперь ваша очередь решить несколько примеров:

1. 2/7 + 3/5
2. 5/6 - 1/3
3. 3/4 + 2/3 - 1/6

Решения:

1. 2/7 + 3/5 = 10/35 + 21/35 = 31/35

2. 5/6 - 1/3 = 5/6 - 2/6 = 3/6 = 1/2

3. 3/4 + 2/3 - 1/6 = 9/12 + 8/12 - 2/12 = 15/12 = 5/4 = 1 1/4

---

Важные моменты, которые нужно запомнить 📘

Что делать?	Как делать?	Пример
Найти общий знаменатель	Найти НОК знаменателей	НОК(4, 6) = 12
Привести дроби	Умножить числитель и знаменатель на недостающий множитель	1/4 = 3/12
Выполнить действие	Сложить/вычесть числители	3/12 + 5/12 = 8/12
Упростить результат	Сократить дробь или выделить целую часть	8/12 = 2/3

Частые ошибки и как их избежать ⚠️

• Не находить общий знаменатель — нельзя просто складывать числители и знаменатели!
• Забывать умножать числитель — при приведении к общему знаменателю умножаются ОБЕ части дроби