Степень с целым отрицательным показателем

Что такое отрицательная степень? 🤔

До этого мы с вами изучали степени с натуральными показателями. Вы уже знаете, что:

aⁿ = a * a * a * ... * a (n раз)

Но что делать, если показатель степени — отрицательное число? Давайте разбираться!

📘 Важное правило: Любое число (кроме нуля) в отрицательной степени равно единице, деленной на это число в такой же положительной степени.

Формула выглядит так:

a⁻ⁿ = 1 / aⁿ

Где:

• a — основание степени (любое число, кроме нуля)
• n — положительное число
• Знак минус перед n показывает, что мы имеем дело с отрицательной степенью

---

Почему это так работает? 🔍

Давайте посмотрим на закономерность. Рассмотрим степени числа 2:

Степень	Вычисление	Результат
2³	2 * 2 * 2	8
2²	2 * 2	4
2¹	2	2
2⁰	1	1
2⁻¹	1 / 2¹	0,5
2⁻²	1 / 2²	0,25
2⁻³	1 / 2³	0,125

Видите закономерность? 👀 Каждый раз, когда мы уменьшаем показатель степени на 1, мы делим результат на 2. Эта закономерность сохраняется и для отрицательных степеней!

🎯 Запомните: Отрицательная степень не делает число отрицательным! Она превращает его в дробь.

---

Как работать с отрицательными степенями? 🧮

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить правило.

Пример 1: Простое число

Вычислите: 5⁻²

Решение:

1. Применяем правило: 5⁻² = 1 / 5²
2. Вычисляем степень: 5² = 25
3. Получаем ответ: 1 / 25 = 0,04

Ответ: 0,04

Пример 2: Дробь в отрицательной степени

Вычислите: (2/3)⁻²

Решение:

1. Применяем правило: (2/3)⁻² = 1 / (2/3)²
2. Возводим дробь в степень: (2/3)² = 4/9
3. Делим 1 на полученную дробь: 1 ÷ (4/9) = 1 * (9/4) = 9/4 = 2,25

Ответ: 2,25

💡 Полезный совет: Когда дробь возводится в отрицательную степень, мы можем просто "перевернуть" ее и возвести в положительную степень: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ

Пример 3: Отрицательное число в отрицательной степени

Вычислите: (-3)⁻³

Решение:

1. Применяем правило: (-3)⁻³ = 1 / (-3)³
2. Вычисляем степень: (-3)³ = -27
3. Получаем ответ: 1 / (-27) = -1/27

Ответ: -1/27

⚠️ Внимание: Знак минус в основании степени и знак минус в показателе — это разные вещи! Не путайте их!

---

Практические задачи 🎯

А теперь давайте попрактикуемся! Решите эти задачи самостоятельно, а затем сверьтесь с решениями.

Задача 1

Вычислите: 4⁻²

Решение:

1. Записываем: 4⁻² = 1 / 4²
2. Вычисляем: 4² = 16
3. Ответ: 1/16 или 0,0625

Задача 2

Вычислите: (1/2)⁻³

Решение:

1. Записываем: (1/2)⁻³ = 1 / (1/2)³
2. Вычисляем: (1/2)³ = 1/8
3. Делим: 1 ÷ (1/8) = 8
4. Ответ: 8

Задача 3

Упростите выражение: a⁻⁵ * a³

Решение:

1. Используем свойство степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются
2. Записываем: a⁻⁵ * a³ = a⁻⁵⁺³ = a⁻²
3. Преобразуем отрицательную степень: a⁻² = 1 / a²
4. Ответ: 1 / a²

---

Частые ошибки и как их избежать 🚫

Давайте разберем самые распространенные ошибки, которые допускают ученики:

• Ошибка 1: Путают знак минус в основании и в показателе степени
• Как избежать: Помните, что минус перед числом и минус в показателе степени — это разные вещи!