Свойства квадратных корней из произведения и дроби

Разбираемся с корнем из произведения

Давай начнём с простого примера, чтобы понять суть.

Представь, что тебе нужно вычислить √(9 × 4). Сделаем это по шагам:

1. Сначала найдём произведение внутри корня: 9 × 4 = 36
2. Теперь извлечём корень: √36 = 6

А теперь сделаем иначе:

1. Извлечём корни из каждого числа отдельно: √9 = 3 и √4 = 2
2. Перемножим полученные результаты: 3 × 2 = 6

🎯 Оба способа дали одинаковый результат! Это не случайность, а математическое свойство.

Формулируем правило:

Корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел.

Запишем это в виде формулы:

√(a × b) = √a × √b

Где a ≥ 0 и b ≥ 0 — это важно помнить!

---

Практикуемся на примерах ✨

Давай закрепим свойство на практике:

Пример 1: Упрости выражение √(25 × 16)

Решение:

√(25 × 16) = √25 × √16 = 5 × 4 = 20

Пример 2: Вычисли √(100 × 9)

Решение:

√(100 × 9) = √100 × √9 = 10 × 3 = 30

Это свойство особенно полезно, когда мы работаем с большими числами или когда нужно упростить выражения.

---

Переходим к корню из дроби

Теперь разберёмся с делением. Принцип здесь очень похожий!

Посмотрим на пример: √(36 / 9)

1. Сначала вычислим дробь под корнем: 36 ÷ 9 = 4
2. Извлечём корень: √4 = 2

А теперь по-другому:

1. Извлечём корни отдельно: √36 = 6 и √9 = 3
2. Разделим результаты: 6 ÷ 3 = 2

📘 Снова получили одинаковый ответ! Формулируем второе свойство:

Корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя.

Математическая запись:

√(a / b) = √a / √b

Где a ≥ 0 и b > 0 (на ноль делить нельзя!)

---

Сводная таблица свойств

Свойство	Формула	Пример
Корень из произведения	√(a × b) = √a × √b	√(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6
Корень из дроби	√(a / b) = √a / √b	√(49 / 4) = √49 / √4 = 7 / 2 = 3.5

---

Решаем задачи вместе 🧮

Задача 1: Упрости выражение √(16 × 25)

Пошаговое решение:

1. Применяем свойство корня из произведения: √16 × √25
2. Вычисляем каждый корень: 4 × 5
3. Получаем ответ: 20

Задача 2: Вычисли √(144 / 9)

Пошаговое решение:

1. Применяем свойство корня из дроби: √144 / √9
2. Вычисляем каждый корень: 12 / 3
3. Получаем ответ: 4

Задача 3: Упрости выражение √(50 × 2)

Пошаговое решение:

1. Умножаем числа под корнем: 50 × 2 = 100
2. Извлекаем корень: √100 = 10
3. Ответ: 10

Можно было решить и через свойство: √50 × √2, но первый способ проще!

---

Важные советы и тонкости

Запомни: эти свойства работают только когда подкоренные выражения неотрицательны, а в случае дроби — знаменатель не равен нулю!

Не забывай проверять эти условия, особенно в более сложных заданиях.

Эти свойства можно применять и в обратную сторону:

√a × √b = √(a × b)

√a / √b = √(a / b)

Это бывает полезно для упрощения выражений и вычислений.

---

Проверь себя 🔍

Попробуй решить эти задачи самостоятельно:

1. Вычисли: √(64 × 4)
2. Упрости: √(81 / 9)
3. Найди значение: √36 × √4
4. Вычисли: √100 / √25

Ответы для самопроверки:

1. 16 (потому что √64 × √4 = 8 × 2 = 16)
2. 3 (потому что √81 / √9 = 9 / 3 = 3)
3. 12 (потому что 6 × 2 = 12)
4. 2 (потому что 10 / 5 = 2)

💡 Помни: математика — это как спорт. Чем больше тренируешься, тем лучше получается!

Теперь ты знаешь два важных свойства квадратных корней. Они помогут тебе упрощать выражения, производить вычисления и решать более сложные задачи. Keep it up! 👍