Теорема Виета: прямая и обратная

Что такое теорема Виета и зачем она нужна?

Представь, что ты решил квадратное уравнение и получил два корня. Теорема Виета позволяет быстро проверить, не ошибся ли ты в вычислениях! А ещё — иногда подобрать корни устно, даже не решая уравнение полностью. Это настоящая математическая магия ✨

Мы разберём обе версии теоремы:

• Прямая теорема Виета — как по корням найти коэффициенты уравнения
• Обратная теорема Виета — как по коэффициентам найти корни

Прямая теорема Виета

Любое квадратное уравнение можно записать в стандартном виде:

ax² + bx + c = 0

Если оно имеет корни x₁ и x₂, то для них выполняются два волшебных равенства:

Давай проверим на примере!

🎯 Пример 1: Решим уравнение x² - 5x + 6 = 0 и проверим теорему Виета

Шаг 1: Найдём корни через дискриминант

D = b² - 4ac = (-5)² - 4*1*6 = 25 - 24 = 1
x₁ = (5 + 1)/2 = 3
x₂ = (5 - 1)/2 = 2

Шаг 2: Проверим теорему Виета

Сумма: 3 + 2 = 5
По формуле: -b/a = -(-5)/1 = 5 ✅

Произведение: 3 * 2 = 6  
По формуле: c/a = 6/1 = 6 ✅

Всё сошлось! Теорема работает 🎉

Обратная теорема Виета

Если числа p и q таковы, что:

p + q = -b/a
p * q = c/a

то эти числа являются корнями квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.

Эта теорема особенно полезна, когда нужно быстро подобрать корни!

📘 Совет: Чаще всего теорему используют для приведённых уравнений (где a = 1). Для них формулы становятся проще:

x₁ + x₂ = -b
x₁ * x₂ = c

Давай потренируемся!

🎯 Пример 2: Подбери корни уравнения x² + 9x + 20 = 0

Шаг 1: Запишем условия теоремы Виета

x₁ + x₂ = -9
x₁ * x₂ = 20

Шаг 2: Подберём такие числа

Какие два числа при умножении дают 20, а при сложении -9?

Попробуем пары множителей для 20:

• 4 и 5: 4+5=9 (но нужно -9) → возьмём -4 и -5
• Проверим: (-4) + (-5) = -9 ✅
• (-4) * (-5) = 20 ✅

Ответ: корни уравнения: -4 и -5

Практикуемся на задачах

Теперь решим несколько задач вместе!

🔢 Задача 1: Найди сумму и произведение корней уравнения 2x² - 7x + 3 = 0

Решение:

a = 2, b = -7, c = 3
Сумма корней: -b/a = -(-7)/2 = 7/2 = 3.5
Произведение корней: c/a = 3/2 = 1.5

🔢 Задача 2: Составь квадратное уравнение, корнями которого являются числа 5 и -3

Решение:

x₁ = 5, x₂ = -3
Сумма: 5 + (-3) = 2 = -b/a
Произведение: 5 * (-3) = -15 = c/a

Возьмём a = 1 (чтобы было проще), тогда:
-b = 2 ⇒ b = -2
c = -15

Уравнение: x² - 2x - 15 = 0

🔢 Задача 3: Один из корней уравнения x² + px + 24 = 0 равен 8. Найди второй корень и коэффициент p.

Решение:

Пусть x₁ = 8, x₂ — неизвестный корень
По теореме Виета: x₁ * x₂ = 24
8 * x₂ = 24 ⇒ x₂ = 24/8 = 3

Теперь найдём p:
x₁ + x₂ = -p
8 + 3 = -p ⇒ 11 = -p ⇒ p = -11

Ответ: второй корень 3, p = -11

Важные нюансы и ограничения

Теорема Виета работает только для квадратных уравнений, которые:

• Имеют корни (D ≥ 0)
• Не являются вырожденными (a ≠ 0)

Если дискриминант отрицательный — корней нет, и теорему применять нельзя!

⚠️ Важно: Всегда проверяй, имеет ли уравнение корни, прежде чем использовать теорему Виета

Проверь себя

Попробуй решить эти задачи самостоятельно, а потом сверься с ответами ниже.

📝 Задача для самопроверки 1: Найди корни уравнения x² - 6x + 8 = 0, используя теорему Виета

📝 Задача для самопроверки 2: Составь квадратное уравнение, корни которого равны -2 и 7

x₁ + x₂ = 6
x₁ * x₂ = 8
Подходящие числа: 2 и 4
Ответ: 2 и 4

x₁ + x₂ = -2 + 7 = 5 = -b ⇒ b = -5
x₁ * x₂ = -2 * 7 = -14 = c
Уравнение: x² - 5x - 14 = 0