Умножение и деление рациональных дробей

Что такое рациональные дроби?

Рациональные дроби — это обыкновенные дроби, в числителе и знаменателе которых стоят многочлены. Например:

(x + 2)/(x - 3)
(3a² - 1)/(a + 5)

Они очень похожи на обычные дроби, которые ты уже хорошо знаешь, просто вместо чисел здесь используются выражения с переменными.

💡 Важно помнить: знаменатель дроби НЕ может быть равен нулю! Всегда исключай значения переменных, при которых знаменатель обращается в ноль.

Перед тем как работать с дробями, полезно упростить многочлены в числителе и знаменателе — разложить на множители, сократить одинаковые выражения. Это поможет избежать сложных вычислений!

---

Умножение рациональных дробей

Умножать рациональные дроби даже проще, чем обычные! Правило такое же:

a/b * c/d = (a * c)/(b * d)

То есть мы перемножаем числители и записываем в числитель результата, перемножаем знаменатели и записываем в знаменатель результата.

Давай разберем на примере:

Задача 1. Умножь дроби: (x + 3)/(x - 1) * (2x)/(x + 5)

Решение:

1. Перемножим числители: (x + 3) * 2x
2. Перемножим знаменатели: (x - 1) * (x + 5)
3. Запишем результат: (2x(x + 3))/((x - 1)(x + 5))

Готово! Обрати внимание — мы не раскрываем скобки, если в этом нет необходимости.

🎯 Совет: Всегда старайся сначала разложить выражения на множители — возможно, что-то сократится ДО умножения!

Задача 2. Умножь дроби: (x² - 4)/(x + 1) * (3)/(x - 2)

Решение:

1. Разложим числитель первой дроби на множители: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
2. Перепишем пример: ((x - 2)(x + 2))/(x + 1) * 3/(x - 2)
3. Сократим одинаковые множители (x - 2) в числителе и знаменателе
4. Перемножим: (3(x + 2))/(x + 1)

Вот так упрощение помогло нам получить аккуратный ответ!

---

Деление рациональных дробей

С делением тоже все знакомо — оно заменяется умножением на обратную дробь!

a/b ÷ c/d = a/b * d/c

То есть мы:

1. Оставляем первую дробь без изменений
2. Заменяем знак деления на умножение
3. Переворачиваем вторую дробь (меняем числитель и знаменатель местами)
4. Умножаем по правилам умножения дробей

Задача 3. Раздели дроби: (x + 1)/(x - 3) ÷ (2x + 2)/(x² - 9)

Решение:

1. Заменяем деление на умножение на обратную дробь: (x + 1)/(x - 3) * (x² - 9)/(2x + 2)
2. Разложим на множители:
   • x² - 9 = (x - 3)(x + 3)
   • 2x + 2 = 2(x + 1)
3. Подставляем: (x + 1)/(x - 3) * ((x - 3)(x + 3))/(2(x + 1))
4. Сокращаем одинаковые множители (x + 1) и (x - 3)
5. Получаем ответ: (x + 3)/2

Отлично! Мы получили очень простой результат.

📘 Запомни: При делении важно правильно перевернуть вторую дробь. Это единственная сложность в делении дробей!

---

Важные особенности и хитрости

Ситуация	Как действовать
Перед умножением/делением	Всегда пытайся разложить на множители
Если в числителе/знаменателе число	Представляй его как дробь со знаменателем 1: 5 = 5/1
После получения ответа	Всегда упрощай выражение
Область определения	Помни про ограничения знаменателей

Область определения — это значения переменных, при которых дробь имеет смысл. Для нашей задачи 3 ограничения такие:

• x ≠ 3 (из первой дроби)
• x ≠ -1 (из второй дроби)

В ответе (x + 3)/2 эти ограничения сохраняются, хотя в самой дроби нет запрещенных значений.

---

Практические задачи для закрепления

Задача 4. Умножь: (2y)/(y² - 1) * (y + 1)/4

Решение:

1. Разложим знаменатель: y² - 1 = (y - 1)(y + 1)
2. Запишем: (2y)/((y - 1)(y + 1)) * (y + 1)/4
3. Сократим (y + 1)
4. Умножим: (2y)/(4(y - 1))
5. Упростим: y/(2(y - 1))

Задача 5. Раздели: (a² - b²)/(a + b) ÷ (a - b)/3

Решение:

1. Заменяем деление на умножение: (a² - b²)/(a + b) * 3/(a - b)
2. Разложим числитель: a² - b² = (a - b)(a + b)
3. Подставляем: ((a - b)(a + b))/(a + b) * 3/(a - b)
4. Сокращаем (a + b) и (a - b)
5. Получаем: 3

Вот это да! После всех преобразований получилось просто число 3.