Внесение множителя под знак корня

Что значит внести множитель под корень? 🎯

Иногда при решении задач нам нужно преобразовать выражение, где перед корнем стоит число. Это число называется внешним множителем. Внести множитель под знак корня — значит представить всё выражение в виде одного корня.

💡 Главное правило: Чтобы внести положительный множитель под знак квадратного корня, нужно возвести его в квадрат и записать под корнем как множитель.

Давайте разберемся на простом примере:

3√5

Здесь внешний множитель — это число 3. Чтобы внести его под корень, мы делаем вот что:

3√5 = √(3²) * √5 = √(9 * 5) = √45

Мы возвели число 3 в квадрат (получили 9) и записали его под корнем, умножив на то число, которое уже там было.

---

Общая формула 📘

Для любого положительного числа a и любого выражения b (где b ≥ 0) работает вот такая формула:

a√b = √(a² * b)

Давайте закрепим формулу на практике. Посмотрите на таблицу с примерами:

Выражение с внешним множителем	Действие	Результат (под корнем)
5√2	5² * 2 = 25 * 2	√50
2√3	2² * 3 = 4 * 3	√12
7√10	7² * 10 = 49 * 10	√490
x√y (где x≥0, y≥0)	x² * y	√(x²y)

Обратите внимание: под корнем у нас получается произведение квадрата нашего множителя и исходного подкоренного выражения.

---

А если множитель отрицательный? ➕➖

До этого мы рассматривали только положительные множители. Но как быть, если перед корнем стоит отрицательное число?

⚠️ Важно: Знак минус всегда остается перед корнем. Под знак корня мы вносим только положительное число, полученное из модуля этого отрицательного множителя.

Общая формула для отрицательного множителя:

-a√b = -√(a² * b)

Рассмотрим пример:

-4√3 = -√(4² * 3) = -√(16 * 3) = -√48

Минус мы так и оставили перед корнем, а под корень внесли только положительное число 4, возведенное в квадрат.

---

Пошаговый алгоритм 🧮

Чтобы никогда не ошибаться, действуйте по шагам:

1. Определите знак множителя перед корнем.
2. Возведите модуль множителя в квадрат.
3. Умножьте полученное число на выражение под корнем.
4. Запишите результат: если исходный множитель был отрицательным, поставьте минус перед корнем. Если положительным — просто запишите корень.

Давайте потренируемся на примере: -6√5

• Шаг 1: Множитель отрицательный (минус перед 6)
• Шаг 2: Возводим модуль (6) в квадрат: 6² = 36
• Шаг 3: Умножаем на подкоренное выражение: 36 * 5 = 180
• Шаг 4: Записываем результат с учетом знака: -√180

Вот и все! Теперь выражение -6√5 преобразовано в -√180.

---

Решаем задачи вместе 📝

Задача 1

Внесите множитель под знак корня: 8√2

Решение:

1. Множитель положительный: 8
2. Возводим его в квадрат: 8² = 64
3. Умножаем на выражение под корнем: 64 * 2 = 128
4. Записываем результат: √128

Ответ: 8√2 = √128

Задача 2 (посложнее!)

Внесите множитель под знак корня: -5√11

Решение:

1. Множитель отрицательный: -5
2. Работаем с модулем: возводим 5 в квадрат: 5² = 25
3. Умножаем на выражение под корнем: 25 * 11 = 275
4. Записываем результат, не забывая про минус: -√275

Ответ: -5√11 = -√275

Задача 3 с переменной

Внесите множитель под знак корня: 3x√y (при условии, что x ≥ 0 и y ≥ 0)

Решение:

1. Множитель положительный: 3x
2. Возводим его в квадрат: (3x)² = 9x²
3. Умножаем на выражение под корнем: 9x² * y = 9x²y
4. Записываем результат: √(9x²y)

Ответ: 3x√y = √(9x²y)