Вынесение множителя из-под знака корня

Что такое вынесение множителя из-под корня?

Представь, что корень — это домик, а числа под ним — его жильцы. Иногда некоторых жильцов можно «выселить» из домика, чтобы упростить выражение и сделать его более аккуратным и понятным. Это и есть вынесение множителя из-под знака корня! ✨

Это преобразование помогает в дальнейшем складывать и вычитать корни, сравнивать их и решать более сложные уравнения.

---

Необходимая подготовка 📘

Прежде чем мы начнем, давай вспомним два важных правила, без которых нам не обойтись.

1. Свойство корня из произведения

Корень из произведения равен произведению корней. Это наше главное оружие!

√(a * b) = √a * √b

Это правило работает и в обратную сторону: √a * √b = √(a * b)

2. Таблица квадратов

Нам нужно знать квадраты чисел, чтобы видеть, на какие множители можно разбить подкоренное выражение.

Число	Квадрат
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64
9	81
10	100

Запомни: мы ищем такой множитель, который является точным квадратом (как числа в правом столбце).

---

Алгоритм вынесения множителя 🧮

Вот пошаговая инструкция, которой мы будем следовать:

1. Разложи подкоренное выражение на множители.
2. Выдели среди них точные квадраты.
3. Примени правило: √(a * b) = √a * √b.
4. Извлеки корень из точного квадрата — это и будет множитель перед корнем.
5. Запиши ответ.

Давай потренируемся на простом примере!

Задача 1. Вынеси множитель из-под знака корня: √8

Решение:

1. Разложим число 8 на множители, один из которых — точный квадрат:
   • 8 = 4 * 2
   • 4 — это точный квадрат (2²)
2. Запишем наш корень, используя это разложение:
   √8 = √(4 * 2)
3. Применим правило корня из произведения:
   √(4 * 2) = √4 * √2
4. Извлечем корень из точного квадрата (√4):
   √4 * √2 = 2 * √2

Ответ: 2√2

Видишь, как стало проще? Выражение 2√2 гораздо удобнее для дальнейших расчетов, чем √8.

---

Разбираем более сложные примеры 🔍

Задача 2. Вынеси множитель из-под знака корня: √50

Решение:

1. Разложим 50 на множители: 50 = 25 * 2 (25 — это 5², точный квадрат!).
2. √50 = √(25 * 2)
3. √(25 * 2) = √25 * √2
4. √25 * √2 = 5 * √2

Ответ: 5√2

Задача 3. Вынеси множитель из-под знака корня: √72

Здесь есть несколько точных квадратов! Давай разберемся.

Решение:

1. Разложим 72 на множители. Сделаем это внимательно:
   • 72 = 36 * 2 (36 — это 6²!)
   Можно разложить и иначе: 72 = 9 * 8, но тогда придется раскладывать и 8.
2. √72 = √(36 * 2)
3. √(36 * 2) = √36 * √2
4. √36 * √2 = 6 * √2

Ответ: 6√2

Совет: Всегда старайся найти наибольший точный квадрат, который является множителем. Так мы максимально упростим выражение под корнем.

---

А что если под корнем больше двух множителей? ➕

Ничего страшного! Правило работает для любого количества множителей.

Задача 4. Вынеси множитель из-под знака корня: √200

Решение:

1. Разложим 200: 200 = 100 * 2 (100 — это 10²!). Можно представить как 200 = 25 * 8, но лучше использовать наибольший квадрат.
2. √200 = √(100 * 2)
3. √(100 * 2) = √100 * √2
4. √100 * √2 = 10 * √2

Ответ: 10√2

---

Потренируйся самостоятельно! 💪

Теперь твоя очередь. Попробуй решить эти примеры. Ответы напиши ниже.

1. √18
2. √32
3. √45
4. √98

Ответы для самопроверки:

1. √18 = √(9*2) = √9 * √2 = 3√2
2. √32 = √(16*2) = √16 * √2 = 4√2
3. √45 = √(9*5) = √9 * √5 = 3√5
4. √98 = √(49*2) = √49 * √2 = 7√2