Арифметическая прогрессия: формула n-го члена

Что такое арифметическая прогрессия? 🤔

Представь, что ты поднимаешься по лестнице. Каждая следующая ступенька выше предыдущей на одинаковую величину. Вот это и есть арифметическая прогрессия — последовательность чисел, где каждое следующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину.

Эта величина называется разностью прогрессии и обозначается буквой d.

💡 Запомни: если разность положительная (d > 0), прогрессия возрастает. Если отрицательная (d < 0) — убывает.

Примеры из жизни:

• ✅ Ежедневное увеличение сбережений на 50 рублей
• ✅ Уменьшение запаса воды в баке на 2 литра каждый час
• ✅ Номера домов на улице: 5, 10, 15, 20...

---

Основные понятия и обозначения 📘

В математике арифметическую прогрессию принято обозначать так:

Обозначение	Что означает	Пример
a₁	Первый член прогрессии	5
a₂	Второй член прогрессии	8
a₃	Третий член прогрессии	11
aₙ	n-й член прогрессии	?
d	Разность прогрессии	3

В нашем примере: d = a₂ - a₁ = 8 - 5 = 3

---

Как найти любой член прогрессии? 🔍

Теперь самое главное — научимся находить любой член прогрессии, не вычисляя все предыдущие!

Давай выведем формулу шаг за шагом:

1. a₂ = a₁ + d
2. a₃ = a₂ + d = (a₁ + d) + d = a₁ + 2d
3. a₄ = a₃ + d = (a₁ + 2d) + d = a₁ + 3d
4. a₅ = a₄ + d = (a₁ + 3d) + d = a₁ + 4d

Замечаешь закономерность? 🤩

🎯 Формула n-го члена арифметической прогрессии:

aₙ = a₁ + d · (n - 1)

Где:

• aₙ — тот член прогрессии, который мы ищем
• a₁ — первый член прогрессии
• d — разность прогрессии
• n — номер члена прогрессии

---

Решаем задачи вместе! 🧮

Задача 1

Дана арифметическая прогрессия: 3, 7, 11, 15, ...

Найдите: а) разность прогрессии; б) десятый член прогрессии.

Решение:

а) Находим разность: d = a₂ - a₁ = 7 - 3 = 4

б) Используем формулу n-го члена: a₁₀ = a₁ + d · (10 - 1) = 3 + 4 · 9 = 3 + 36 = 39

Ответ: d = 4, a₁₀ = 39

Задача 2

В арифметической прогрессии a₁ = -2, d = 5. Найдите a₂₀.

Решение:

Подставляем в формулу: a₂₀ = a₁ + d · (20 - 1) = -2 + 5 · 19 = -2 + 95 = 93

Ответ: a₂₀ = 93

Задача 3 (повышенной сложности)

Найдите первый член арифметической прогрессии, если a₇ = 25, а d = 3.

Решение:

Используем нашу формулу: a₇ = a₁ + d · (7 - 1)

Подставляем известные значения: 25 = a₁ + 3 · 6

Упрощаем: 25 = a₁ + 18

Переносим: a₁ = 25 - 18 = 7

Ответ: a₁ = 7

---

Проверь себя! ✏️

Задача для самостоятельного решения

В арифметической прогрессии: a₁ = 10, a₂ = 14.

Найдите: а) разность прогрессии; б) пятнадцатый член прогрессии.

Показать решение

а) d = a₂ - a₁ = 14 - 10 = 4

б) a₁₅ = a₁ + d · (15 - 1) = 10 + 4 · 14 = 10 + 56 = 66

Ответ: d = 4, a₁₅ = 66

---

Важные советы и хитрости 💡

📌 Совет 1: Всегда записывайте, что дано в задаче: a₁, d, n

📌 Совет 2: Внимательно смотрите, какой член прогрессии нужно найти

📌 Совет 3: Проверяйте знак разности — он может быть отрицательным!

Частые ошибки:

• ❌ Путают n и n-1 в формуле
• ❌ Неправильно вычисляют разность прогрессии
• ❌ Забывают указать единицы измерения в ответе (если они есть)

---

Закрепление материала 🎯

Сегодня мы узнали:

1. Что такое арифметическая прогрессия
2. Как обозначаются ее элементы
3. Как выводится формула n-го члена
4. Как решать задачи с использованием формулы

Формула n-го члена — это основной инструмент для работы с арифметическими прогрессиями. Запомни ее, и ты сможешь решать большинство задач на эту тему!

Удачи в изучении математики! У тебя все получится! ✨