Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

Что такое арифметическая прогрессия? 📈

Давай вспомним: арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждое следующее число отличается от предыдущего на одно и то же число. Это число называется разностью прогрессии и обозначается буквой d.

Пример прогрессии: 2, 5, 8, 11, 14... Здесь первый член a₁ = 2, а разность d = 3.

Зачем нужна сумма? ➕

Представь, что тебе нужно посчитать сумму твоих оценок за неделю или общее количество шагов, пройденных за несколько дней. Вместо того чтобы складывать всё подряд, можно использовать умную формулу! Это особенно полезно, когда членов прогрессии очень много.

🎯 Исторический факт: эту формулу открыл ещё Карл Гаусс в школьные годы, когда учитель дал задание сложить все числа от 1 до 100. Юный гений нашёл быстрый способ и удивил всех!

Вывод формулы 🧠

Давай вместе подумаем, как можно быстро сложить первые n членов арифметической прогрессии. Обозначим сумму как Sₙ.

Запишем сумму дважды: в прямом и обратном порядке:

Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ
Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + ... + a₁

Теперь сложим эти два равенства почленно. Заметь, что каждая пара a₁ + aₙ, a₂ + aₙ₋₁ и так далее даёт одинаковый результат!

Почему? Потому что:

a₂ + aₙ₋₁ = (a₁ + d) + (aₙ - d) = a₁ + aₙ

Таким образом, у нас получится n одинаковых пар, каждая из которых равна a₁ + aₙ:

2Sₙ = n * (a₁ + aₙ)

Осталось только разделить на 2:

Sₙ = n/2 * (a₁ + aₙ)

Но часто мы не знаем последний член aₙ. Вспомним формулу n-го члена прогрессии:

aₙ = a₁ + d(n - 1)

Подставим это в нашу формулу суммы:

Sₙ = n/2 * [a₁ + a₁ + d(n - 1)] = n/2 * [2a₁ + d(n - 1)]

Вот мы и получили две основные формулы!

Две главные формулы 📘

💡 Запомни: эти формулы работают только для арифметической прогрессии! Все члены должны изменяться с постоянной разностью.

Разбираемся на примерах 🔍

Задача 1

Найди сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, если a₁ = 3, d = 2.

Решение:

1. Нам известны первый член и разность, поэтому используем вторую формулу:

S₁₀ = 10/2 * [2*3 + 2*(10 - 1)]

2. Вычисляем step by step:

= 5 * [6 + 2*9]
= 5 * [6 + 18]
= 5 * 24
= 120

3. Ответ: сумма первых 10 членов равна 120.

Задача 2

Найди сумму первых 20 натуральных чисел.

Решение:

1. Натуральные числа — это арифметическая прогрессия с a₁ = 1, d = 1.
2. Используем формулу:

S₂₀ = 20/2 * [2*1 + 1*(20 - 1)]

3. Вычисляем:

= 10 * [2 + 19]
= 10 * 21
= 210

4. Ответ: сумма первых 20 натуральных чисел равна 210.

Задача 3 (посложнее!)

В арифметической прогрессии a₅ = 14, a₁₀ = 29. Найди сумму первых 15 членов.

Решение:

1. Сначала найдём первый член и разность. Запишем формулы для известных членов:

a₅ = a₁ + d(5 - 1) = a₁ + 4d = 14
a₁₀ = a₁ + d(10 - 1) = a₁ + 9d = 29

2. Вычтем из второго уравнения первое:

(a₁ + 9d) - (a₁ + 4d) = 29 - 14
5d = 15
d = 3

3. Подставим d = 3 в первое уравнение:

a₁ + 4*3 = 14
a₁ + 12 = 14
a₁ = 2

4. Теперь найдём 15-й член:

a₁₅ = a₁ + d(15 - 1) = 2 + 3*14 = 2 + 42 = 44

5. Теперь можно найти сумму (используем первую формулу):

S₁₅ = 15/2 * (a₁ + a₁₅) = 15/2 * (2 + 44) = 15/2 * 46 = 15 * 23 = 345

6. Ответ: сумма первых 15 членов равна 345.

Практикуемся 🎯

Попробуй решить эти задачи самостоятельно, а потом сверься с решениями.

Задача для самостоятельного решения 1

Найди сумму первых 12 членов арифметической прогрессии, если a₁ = 7, d = 4.

S₁₂ = 12/2 * [2*7 + 4*(12 - 1)]
= 6 * [14 + 4*11]
= 6 * [14 + 44]
= 6 * 58
= 348

Задача для самостоятельного решения 2

В арифметической прогрессии a₁ = -5, d = 3. Найди сумму членов с 5-го по 15-й включительно.