Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Что такое геометрическая прогрессия? Напоминание

Прежде чем изучать формулу суммы, давай вспомним, что такое геометрическая прогрессия. Это последовательность чисел, где каждое следующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число. Это число называется знаменателем прогрессии и обозначается буквой q.

Например, прогрессия: 2, 6, 18, 54, ...

Здесь первый член b₁ = 2, а знаменатель q = 3 (потому что 6 / 2 = 3, 18 / 6 = 3 и так далее).

🎯 Запомни: Формула для нахождения n-ного члена прогрессии выглядит так: bₙ = b₁ * qⁿ⁻¹

---

Зачем нужна формула суммы? 🤔

Представь, что тебе нужно посчитать сумму первых 10 членов прогрессии 3, 6, 12, 24, .... Можно, конечно, выписать все 10 чисел и сложить их вручную. Но это долго и легко ошибиться. А если нужно найти сумму первых 50 членов? Гораздо проще и быстрее использовать готовую формулу!

---

Вывод формулы суммы

Давай вместе выведем эту формулу. Обозначим сумму первых n членов прогрессии как Sₙ.

Запишем эту сумму:

Sₙ = b₁ + b₂ + b₃ + ... + bₙ

Мы знаем, что каждый член прогрессии можно выразить через первый член и знаменатель:

Sₙ = b₁ + b₁*q + b₁*q² + ... + b₁*qⁿ⁻¹

Умножим обе части этого равенства на знаменатель q:

q * Sₙ = b₁*q + b₁*q² + b₁*q³ + ... + b₁*qⁿ

А теперь внимание! 📘 Вычтем из второго равенства первое:

q * Sₙ - Sₙ = (b₁*q + b₁*q² + ... + b₁*qⁿ) - (b₁ + b₁*q + ... + b₁*qⁿ⁻¹)

Справа почти все слагаемые уничтожатся! Останется только:

q * Sₙ - Sₙ = b₁*qⁿ - b₁

Вынесем Sₙ за скобки слева и b₁ справа:

Sₙ * (q - 1) = b₁ * (qⁿ - 1)

И теперь выразим Sₙ:

Sₙ = b₁ * (qⁿ - 1) / (q - 1)

Вот мы и получили нашу главную формулу!

💡 Это основная формула суммы для случая, когда q ≠ 1. Если знаменатель равен единице, то все члены прогрессии одинаковы, и формула упрощается до Sₙ = n * b₁.

---

Итоговая формула и ее варианты

Итак, для геометрической прогрессии с первым членом b₁ и знаменателем q сумма первых n членов вычисляется по формуле:

Sₙ = b₁ * (qⁿ - 1) / (q - 1)

Иногда эту формулу записывают в другом виде, через разность:

Sₙ = b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)

Обе формулы абсолютно равносильны! Вторая просто получена умножением числителя и знаменателя на -1. Выбирай ту, которую тебе проще запомнить или которая удобнее в конкретной задаче.

📌 Совет: Вторая форма (1 - qⁿ) часто удобнее, когда знаменатель q < 1, так как в этом случае мы избегаем отрицательных чисел в числителе.

---

Алгоритм решения задач

Чтобы успешно решать задачи на сумму прогрессии, следуй простому плану:

1. Определи данные задачи: найди b₁ (первый член), q (знаменатель) и n (количество членов).
2. Проверь, не равен ли знаменатель единице (q = 1). Если да, то используй упрощенную формулу.
3. Подставь все значения в подходящую формулу.
4. Аккуратно вычисли результат.

---

Решаем задачи вместе! ✨

Задача 1. Простая

Найди сумму первых 5 членов геометрической прогрессии, если b₁ = 2, q = 3.

Решение:

1. У нас есть все нужные данные: b₁ = 2, q = 3, n = 5.
2. Знаменатель не равен 1, значит, используем основную формулу.
3. Подставляем в формулу: S₅ = 2 * (3⁵ - 1) / (3 - 1)
4. Вычисляем по шагам:
   • Сначала степень: 3⁵ = 243
   • Тогда 243 - 1 = 242
   • В знаменателе: 3 - 1 = 2
   • Итого: S₅ = 2 * 242 / 2 = 242

Ответ: 242

Задача 2. С дробным знаменателем

Найди сумму первых 4 членов прогрессии: 16, 8, 4, 2, ...

Решение:

1. Находим данные: первый член b₁ = 16.
2. Находим знаменатель: q = b₂ / b₁ = 8 / 16 = 0.5.
3. Нам нужна сумма первых n = 4 членов.
4. Подставляем в формулу (удобнее использовать второй вариант): S₄ = 16 * (1 - (0.5)⁴) / (1 - 0.5)
5. Вычисляем:
   • 0.5⁴ = 0.0625
   • 1 - 0.0625 = 0.9375
   • 1 - 0.5 = 0.5
   • 16 * 0.9375 = 15
   • 15 / 0.5 = 30 (деление на 0.5 равно умножению на 2)

Ответ: 30