Функции и их свойства: область определения, область значений

Что такое функция? 🎯

Представь, что функция — это специальный автомат. Ты бросаешь в него число (вход), а он выдает тебе другое число (выход). Каждому входному числу соответствует строго одно выходное. Это и есть функция!

В математике мы обычно обозначаем входную переменную как x, а выходную — как y. Записывается это так: y = f(x). Буква f — это название функции (как имя автомата).

💡 Запомни: функция — это правило, которое каждому допустимому значению x ставит в соответствие ровно одно значение y.

---

Область определения функции (D(f)) 📏

Это все числа, которые можно «бросить» в наш автомат-функцию. То есть все значения x, при которых функция имеет смысл и может быть вычислена.

Давай подумаем, когда функция может «сломаться»?

• ➗ Деление на ноль: на ноль делить нельзя! Если в формуле есть деление на выражение с x, мы должны исключить те x, которые обращают знаменатель в ноль.
• ➖ Квадратный корень из отрицательного числа: под знаком квадратного корня может стоять только число больше или равное нулю.

Давай найдем область определения для функции: f(x) = 1 / (x - 5)

Решение:

1. Мы видим деление на (x - 5).
2. Знаменатель не может быть равен нулю: x - 5 ≠ 0.
3. Решаем: x ≠ 5.
4. Значит, область определения — все числа, кроме пятерки.

Записывается это так: D(f) = (-∞; 5) ∪ (5; +∞)

📘 Совет: Чтобы найти область определения, спроси себя: «При каких x эта формула не будет работать?» Исключи эти значения!

---

Область значений функции (E(f)) 📐

Это все числа, которые наш автомат может «выдать». То есть все возможные значения y, которые мы получаем на выходе, когда подставляем все возможные x из области определения.

Найти область значений часто чуть сложнее. Здесь нам помогает график функции! Мы смотрим, какие значения y принимает функция на всем своем графике.

Рассмотрим функцию: f(x) = x²

Решение:

1. Область определения: x — любое число, D(f) = (-∞; +∞).
2. Какие значения может принимать x²? Любое неотрицательное число!
3. Минимальное значение — 0 (при x = 0).
4. Вверх функция растет до бесконечности.
5. Значит, область значений: все y ≥ 0.

Записывается это так: E(f) = [0; +∞)

🎯 Подсказка: Представь, как ведет себя функция. Она всегда выше нуля? Или может принимать отрицательные значения? Это поможет определить область значений.

---

Сводная таблица свойств 📊

Понятие	Обозначение	Что означает	Как найти?
Область определения	D(f)	Все возможные значения x	Исключить x, при которых функция не определена
Область значений	E(f)	Все возможные значения y	Проанализировать поведение функции (часто по графику)

---

Потренируемся! ✍️

Задача 1. Найди область определения функции: f(x) = √(x + 3)

Пошаговое решение:

1. Под корнем должно быть неотрицательное число: x + 3 ≥ 0.
2. Решаем неравенство: x ≥ -3.
3. Ответ: D(f) = [-3; +∞).

Задача 2. Найди область определения и область значений функции: f(x) = 1/x

Пошаговое решение:

1. Область определения:
   • Знаменатель не должен быть равен нулю: x ≠ 0.
   • Значит, D(f) = (-∞; 0) ∪ (0; +∞).
2. Область значений:
   • Какие значения y мы можем получить?
   • Если подставлять очень маленькие числа (близкие к нулю), y будет огромным.
   • Если подставлять большие числа, y будет близким к нулю.
   • Функция может быть как положительной, так и отрицательной, но никогда не станет равной нулю!
   • Ответ: E(f) = (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

🔥 Отлично! Ты освоил основы областей определения и значений. Это ключ к пониманию поведения любой функции. Дальше будет только интереснее!