Геометрическая прогрессия: формула n-го члена

Что такое геометрическая прогрессия? 🤔

Представь, что ты кладешь деньги в банк под проценты или наблюдаешь, как растет популяция бактерий. Эти процессы часто описываются геометрической прогрессией — последовательностью чисел, где каждое следующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число.

Это постоянное число называется знаменателем прогрессии и обозначается буквой q.

🎯 Запомни: Главное отличие от арифметической прогрессии — не прибавляем, а умножаем!

Вот как выглядит геометрическая прогрессия:

b₁, b₂, b₃, ..., bₙ

где:

• b₁ — первый член прогрессии
• b₂ = b₁ · q
• b₃ = b₂ · q = b₁ · q²
• и так далее...

---

Формула n-го члена прогрессии 🔍

Самая важная формула, которую нужно запомнить:

bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹

Давай разберем ее по частям:

• bₙ — тот член прогрессии, который мы ищем
• b₁ — первый член прогрессии
• q — знаменатель прогрессии
• n — номер члена, который我们需要 найти

💡 Совет: Обрати внимание на степень — она всегда на единицу меньше номера искомого члена! Для третьего члена: q², для пятого: q⁴.

Давай проверим на примере. Возьмем прогрессию: 2, 6, 18, 54, ...

Здесь b₁ = 2, q = 3 (каждое число умножаем на 3).

Найдем 4-й член: b₄ = 2 · 3³ = 2 · 27 = 54 — совпадает!

---

Как найти знаменатель q? 🧮

Если известны два соседних члена прогрессии, знаменатель находится очень просто:

q = bₙ₊₁ / bₙ

Например, для прогрессии 5, 10, 20, 40:

q = 10 / 5 = 2
q = 20 / 10 = 2
q = 40 / 20 = 2

Знаменатель всегда постоянный!

⚠️ Важно: Если члены прогрессии отрицательные, знаменатель тоже может быть отрицательным. Например: 3, -6, 12, -24 → q = -2

---

Решаем задачи вместе! 📝

Задача 1

Найди седьмой член геометрической прогрессии, если b₁ = 4, q = 2.

Решение:

1. Записываем формулу: b₇ = b₁ · q⁶
2. Подставляем значения: b₇ = 4 · 2⁶
3. Вычисляем: 2⁶ = 64, значит 4 · 64 = 256

Ответ: 256

Задача 2

В геометрической прогрессии b₁ = 81, bₙ = 1, q = ⅓. Найди номер n.

Решение:

1. Записываем формулу: 1 = 81 · (⅓)ⁿ⁻¹
2. Делим обе части на 81: 1/81 = (⅓)ⁿ⁻¹
3. Замечаем, что 1/81 = (⅓)⁴, так как 3⁴ = 81
4. Получаем: (⅓)⁴ = (⅓)ⁿ⁻¹
5. Основания равны ⇒ равны и показатели: 4 = n - 1
6. Решаем: n = 5

Ответ: n = 5

Задача 3

Найди первый член геометрической прогрессии, если b₅ = 96, q = 2.

Решение:

1. Записываем формулу для пятого члена: 96 = b₁ · 2⁴
2. Вычисляем: 2⁴ = 16
3. Получаем: 96 = b₁ · 16
4. Находим b₁ = 96 ÷ 16 = 6

Ответ: b₁ = 6

---

Сводная таблица формул 📊

Что найти	Формула
n-й член	bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
Знаменатель q	q = bₙ₊₁ / bₙ
Первый член b₁	b₁ = bₙ / qⁿ⁻¹

📘 Запомни: Во всех формулах показатель степени на единицу меньше номера члена!

---

Практикуемся! ✍️

Попробуй решить эти задачи самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задача для самостоятельного решения 1

Найди шестой член прогрессии: 3, 6, 12, 24, ...

Показать решение

1. Находим q = 6 ÷ 3 = 2
2. Записываем формулу: b₆ = 3 · 2⁵
3. Вычисляем: 2⁵ = 32, 3 · 32 = 96

Ответ: 96