Графики функций y = ax², y = a(x - m)² + n
Знакомство с квадратичной функцией
Сегодня мы изучим одну из самых важных функций в математике — квадратичную функцию. Она описывает параболу, которую мы часто встречаем в жизни: траектория мяча, форма спутниковой антенны или арка моста.
Основная форма квадратичной функции выглядит так:
y = ax²
Где:
y— значение функции (зависимая переменная)x— аргумент функции (независимая переменная)a— коэффициент, который определяет форму параболы
Как коэффициент 'a' влияет на параболу
Давай разберемся, как коэффициент a меняет наш график:
| Значение 'a' | Влияние на график | Пример |
|---|---|---|
a > 0 | Ветви параболы направлены вверх ↗️ | y = 2x² |
a < 0 | Ветви параболы направлены вниз ↘️ | y = -3x² |
|a| > 1 | Парабола становится уже ⬅️➡️ | y = 4x² |
|a| < 1 | Парабола становится шире ↕️ | y = 0.5x² |
🎯 Запомни: если
a = 0, то это уже не квадратичная функция, а линейная!
Строим график функции y = ax²
Давай построим график функции y = 2x² шаг за шагом:
- Составим таблицу значений:
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y = 2x² | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 |
- Отметим точки на координатной плоскости: (-2;8), (-1;2), (0;0), (1;2), (2;8)
- Плавно соединим точки — получим параболу
📘 Совет: всегда выбирай симметричные значения x относительно нуля, чтобы увидеть симметрию параболы!
Более сложная форма: y = a(x - m)² + n
Теперь рассмотрим более общий вид квадратичной функции:
y = a(x - m)² + n
Эта форма показывает нам, как парабола перемещается по координатной плоскости.
Как параметры m и n влияют на график
| Параметр | Влияние на график | Пример |
|---|---|---|
m | Сдвиг по горизонтали ➡️⬅️ | y = (x - 3)² |
n | Сдвиг по вертикали ↗️↘️ | y = x² + 5 |
🔺 Важно: знак перед m в формуле противоположен направлению сдвига!
(x - 3)²означает сдвиг ВПРАВО на 3 единицы.
Вершина параболы
В форме y = a(x - m)² + n вершина параболы имеет координаты:
(m; n)
Это самая низкая точка параболы (если a > 0) или самая высокая (если a < 0).
Решаем задачи вместе
Давай закрепим знания на практике!
Задача 1
Найди вершину параболы y = 2(x - 5)² + 3
Решение:
- Сравниваем с общей формулой:
y = a(x - m)² + n - Видим:
a = 2,m = 5,n = 3 - Вершина параболы:
(5; 3)
Задача 2
Запиши уравнение параболы, которая получается из y = x² сдвигом на 4 единицы вправо и на 2 единицы вверх.
Решение:
- Исходная функция:
y = x² - Сдвиг вправо на 4:
y = (x - 4)² - Сдвиг вверх на 2:
y = (x - 4)² + 2 - Ответ:
y = (x - 4)² + 2
Задача 3
Построй график функции y = -2(x + 1)² - 3
Решение:
- Запишем в виде:
y = -2(x - (-1))² + (-3) - Вершина:
(-1; -3) - Так как
a = -2 < 0, ветви направлены вниз - Составим таблицу значений относительно вершины:
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | -11 | -5 | -3 | -5 | -11 |
- Строим график через эти точки
Практическое применение
Квадратичные функции окружают нас повсюду:
- 📐 Архитектура: арки и купола
- ⚽ Спорт: траектория мяча
- 📡 Технологии: форма спутниковых антенн
- 💰 Экономика: расчет оптимальной цены
✨ Интересный факт: если подбросить мяч прямо вверх, его высота будет описываться квадратичной функцией!
