Комбинаторные задачи: перебор вариантов

Что такое комбинаторные задачи? 🧩

Представь, что ты собираешься на день рождения и не можешь решить, в какой комбинации надеть три новые майки и две пары джинсов. Или пытаешься составить расписание из нескольких уроков. Все эти ситуации, где нужно подсчитать количество возможных вариантов, и есть комбинаторные задачи!

💡 Комбинаторика — это раздел математики, который изучает способы подсчёта количества различных комбинаций, которые можно составить из элементов заданного множества.

Сегодня мы научимся самому простому, но очень важному методу — полному перебору вариантов.

Метод полного перебора 🔍

Суть метода проста: если вариантов не слишком много, мы можем просто выписать их все и посчитать. Главное — делать это последовательно и по правилам, чтобы ни один вариант не потерялся и не повторился.

Давай выработаем алгоритм действий:

Определи, из каких элементов составляются комбинации
Выбери систему записи (буквы, цифры, символы)
Перебирай варианты последовательно, как в словаре — от А до Я
Считай количество полученных комбинаций

🎯 Совет: всегда начинай с простого перебора, даже если потом научишься использовать формулы. Это поможет лучше понять суть задачи!

Практикуемся на примерах 📝

Задача 1: Составление кодов

Условие: Сколько различных двузначных кодов можно составить из цифр 1, 2 и 3? Цифры могут повторяться.

Решение:

Будем перебирать варианты последовательно. На первом месте может быть любая из трёх цифр, и на втором — тоже любая из трёх.

Выпишем все возможные комбинации:

Первый вариант	Второй вариант
`1 1`	`2 1`
`1 2`	`2 2`
`1 3`	`2 3`
...

Продолжим перебор:

С первой цифрой 1: 11, 12, 13 (3 варианта)
С первой цифрой 2: 21, 22, 23 (3 варианта)
С первой цифрой 3: 31, 32, 33 (3 варианта)

Всего получается: 3 + 3 + 3 = 9 вариантов.

✅ Ответ: 9 различных кодов

Задача 2: Выбор мороженого 🍦

Условие: В кафе есть три вида мороженого: ванильное, шоколадное и клубничное. Сколько различных вариантов из двух шариков можно составить, если порядок выбора не важен (то есть ванильное+шоколадное и шоколадное+ванильное — это один и тот же вариант)?

Решение:

Здесь важно, что порядок не имеет значения, поэтому будем записывать комбинации без повторений.

Переберём все возможные пары:

Ванильное + шоколадное
Ванильное + клубничное
Шоколадное + клубничное

Попробуем добавить другие варианты: ванильное+ванильное — но это не два разных шарика, а два одинаковых. По условию мы выбираем именно два шарика, поэтому такие комбинации не считаются.

Больше никаких уникальных пар нет.

✅ Ответ: 3 варианта выбора

Важные правила перебора 📏

Чтобы перебор был эффективным, запомни эти правила:

Правило	Пример	Как избежать ошибок
Перебирай последовательно	Начинай с наименьшего числа или первой буквы алфавита	Используй систему, как в словаре
Учитывай условие повторений	Могут ли элементы повторяться или нет	Внимательно читай условие задачи
Учитывай порядок элементов	Важен ли порядок расположения элементов	Определи вначале: AB и BA — это одно и то же или разное?

🔥 Профессиональный совет: если элементов много, раздели их на группы и перебирай по группам. Это поможет не запутаться!

Тренировочные задачи для самостоятельного решения ✏️

Задача 1

Сколько различных трёхбуквенных слов можно составить из букв А, Б, В (буквы могут повторяться)?

Задача 2

У Маши есть 4 платья и 3 пары туфель. Сколько различных комплектов одежды она может составить?

Задача 3

Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, если цифры не могут повторяться?

💪 Попробуй решить самостоятельно, а потом проверь решения ниже!

Ответы и решения 📘

Решение задачи 1

Для каждой из трёх позиций есть 3 варианта букв. Перебираем:

С первой буквой А: ААА, ААБ, ААВ, АБА, АББ, АБВ, АВА, АВБ, АВВ (9 вариантов)
Аналогично с первой буквой Б и В — по 9 вариантов

Всего: 9 × 3 = 27 вариантов

Решение задачи 2

К каждому из 4 платьев можно выбрать 3 пары туфель:

Платье 1 + туфли 1
Платье 1 + туфли 2
Платье 1 + туфли 3
Платье 2 + туфли 1
...

Всего: 4 × 3 = 12 комплектов