Квадратичная функция: график и свойства

Что такое квадратичная функция?

Квадратичная функция — это функция, которую можно записать в виде:

y = ax² + bx + c

где a, b и c — числа, причем a ≠ 0.

📘 Примеры:

• y = 2x² + 3x - 1 (здесь a=2, b=3, c=-1)
• y = -x² + 4 (здесь a=-1, b=0, c=4)
• y = x² (здесь a=1, b=0, c=0)

🎯 Запомни: если a = 0, то функция становится линейной (например, y = bx + c), поэтому a не может быть нулем!

---

График квадратичной функции — парабола

Графиком любой квадратичной функции является парабола. 🎢

В зависимости от знака коэффициента a парабола может быть направлена:

• Вверх (если a > 0) — «улыбающаяся» парабола 😊
• Вниз (если a < 0) — «грустная» парабола 😢

Давай построим простейшую параболу:

y = x²

Составим таблицу значений:

x	y = x²
-2	4
-1	1
0	0
1	1
2	4

Отметим точки (-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4) на координатной плоскости и проведем через них плавную кривую.

📌 Совет: чем больше точек построишь, тем точнее получится график!

---

Свойства квадратичной функции

1. Вершина параболы

Это самая высокая или самая низкая точка параболы. Её координаты находятся по формулам:

x₀ = -b/(2a)
y₀ = ax₀² + bx₀ + c

Пример: найдем вершину параболы y = x² - 4x + 3

a = 1, b = -4
x₀ = -(-4)/(2*1) = 4/2 = 2
y₀ = 2² - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1

Вершина находится в точке (2, -1)

2. Ось симметрии

Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, которая проходит через её вершину. Уравнение оси симметрии:

x = x₀

Для нашего примера: x = 2

3. Нули функции (точки пересечения с осью OX)

Чтобы найти точки пересечения с осью OX, нужно решить квадратное уравнение:

ax² + bx + c = 0

Для функции y = x² - 4x + 3 решим уравнение:

x² - 4x + 3 = 0
D = (-4)² - 4*1*3 = 16 - 12 = 4
x₁ = (4 + 2)/2 = 3
x₂ = (4 - 2)/2 = 1

График пересекает ось OX в точках (1, 0) и (3, 0)

4. Точка пересечения с осью OY

Чтобы найти точку пересечения с осью OY, подставим x = 0:

y = a*0² + b*0 + c = c

Точка пересечения: (0, c)

В нашем примере: (0, 3)

---

Как построить параболу: пошаговая инструкция

1. Определи направление ветвей (знак коэффициента a)
2. Найди вершину параболы
3. Проведи ось симметрии
4. Найди точки пересечения с осями координат
5. Построй дополнительные точки для точности
6. Проведи плавную кривую через все точки

💡 Подсказка: парабола всегда симметрична, поэтому можно строить точки только с одной стороны от оси симметрии, а потом отразить их!

---

Практические задачи

Задача 1

Построй график функции y = x² - 2x - 3 и найди:

• Направление ветвей
• Координаты вершины
• Точки пересечения с осями
• Ось симметрии

Решение:

1. a = 1 > 0 ⇒ ветви направлены вверх
2. Вершина:

   x₀ = -(-2)/(2*1) = 2/2 = 1
   y₀ = 1² - 2*1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4
   Вершина: (1, -4)

3. Точки пересечения с OX:

   x² - 2x - 3 = 0
   D = (-2)² - 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16
   x₁ = (2 + 4)/2 = 3
   x₂ = (2 - 4)/2 = -1
   Точки: (-1, 0) и (3, 0)

4. Точка пересечения с OY: (0, -3)
5. Ось симметрии: x = 1

Теперь можно построить график, используя эти точки!

Задача 2 ✨

Найди значение функции y = -2x² + 4x + 1 в точке x = 3 и координаты вершины.

Решение:

1. Найдем y(3):

   y(3) = -2*(3)² + 4*3 + 1 = -2*9 + 12 + 1 = -18 + 13 = -5

2. Найдем вершину:

   x₀ = -4/(2*(-2)) = -4/(-4) = 1
   y₀ = -2*1² + 4*1 + 1 = -2 + 4 + 1 = 3
   Вершина: (1, 3)